上模板題例題：

[CQOI2007]余數求和

洛谷

BZOJ

題目大意：求 $\sum^n_{i=1}k\ mod\ i$ 的值。

等等……這題就學了三天C++的都會吧？

$1\leq n,k\leq 10^9$。（一口老血噴到屏幕上）

$O(n)$ 行不通了，考慮別的做法。

我們來看一下 $\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ 的值。

$x=9$：（不包括0，只有4種取值？）

$x=12$：（不包括0，只有6種取值？）

貌似 $\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ 取值數不是很多？

我們來估算一下 $\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ 的不同取值個數：

當 $1\leq i\leq \lfloor\sqrt{x}\rfloor$ 時，$i$ 都只有 $\lfloor\sqrt{x}\rfloor$ 個，不同的取值數肯定不會更多。

當 $\lfloor\sqrt{x}\rfloor\leq i\leq x$ 時，$1\leq\lfloor\frac{x}{i}\rfloor\leq\lfloor\sqrt{x}\rfloor$，不同的取值數肯定 $\leq\lfloor\sqrt{x}\rfloor$ 個。

綜上，不同取值數是 $\sqrt{x}$ 級別的。

然後我們可以發現相同的數是連續的一段。那麽我們可以通過這個特點把 $\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ 分成幾段，每一段的數相等，那麽這一段的和就是長度 $\times$ 這個相同的數。

因為不同取值只有 $\sqrt{x}$ 個，所以這樣加速後的時間復雜度是 $O(\sqrt{x})$，比 $O(x)$ 快了不少。這就是整除分塊。

回到原題。

求 $\sum^n_{i=1}k\ mod\ i$ 的值。

這個……看著和整除分塊沒什麽大關系的樣子？

我們看這個 $mod$ 真礙眼，把它拆開。

$k\ mod\ i=k-i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$

那麽就有：

$\ \sum^n_{i=1}k\ mod\ i$

$=\sum^n_{i=1}k-i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$

$=nk-\sum^n_{i=1}i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$

後面這個式子貌似可以整除分塊了……怎麽算呢？

我們考慮 $[l,r]$ 這段區間的求和，其中 $\lfloor\frac{k}{i}\rfloor=x:i\in [l,r]$。

$\ \sum^r_{i=l}i\times\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$

$=\sum^r_{i=l}i\times x$

$=x\sum^r_{i=l}i$

$=\frac{x(l+r)(r-l+1)}{2}$

這樣就不是很難了。

話說講了這麽久也沒講怎麽枚舉一段相同區間的左端點和右端點。

我們這樣掃描：

一開始 $l=1$ 顯而易見。

求出對應的 $r$。

這個區間求完了，下一個 $l$ 應該是下一個還沒掃過的位置，即 $l=r+1$。

一直重復直到 $l$ 到了上界，也就是掃完了。

怎麽求對應的 $r$ 呢？

既然 $\lfloor\frac{k}{l}\rfloor=\lfloor\frac{k}{r}\rfloor$，且 $r$ 是右端點（最大）

那麽 $r=\frac{k}{\frac{k}{l}}$。（當然可能要跟枚舉上界取一個min，視情況而定）

整除分塊模板大概如下：

1 for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
2     r=n/(n/l);
3     //do something...
4 }

那麽這題代碼實現就不難了。需要註意本題有不少坑點，詳見代碼。（沒錯，代碼並沒有你想象的那麽長！）

時間復雜度貌似是 $O(\sqrt{min(k,n)})$，空間復雜度 $O(1)$

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;    //long long是需要的
ll n,k,ans;
int main(){
    cin>>n>>k;
    ans=n*k;
    for(ll l=1,r;l<=min(n,k);l=r+1){    //與上界取min！
        r=min(k/(k/l),n);    //與上界取min！
        ans-=(k/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;
    }
    cout<<ans<<endl;
}

另外再推薦幾題。抱歉只找到一題，雖說也不錯

洛谷P3935 Calculating （題解待填充）

整除分塊學習筆記+[CQOI2007]余數求和（洛谷P2261，BZOJ1257）