題目背景

數學題，無背景

題目描述

給出正整數n和k，計算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余數。例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29

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兩個整數n k

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答案

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10 5

29

說明

30%: n,k <= 1000

60%: n,k <= 10^6

100% n,k <= 10^9

Solution:

　　本題$zyys$的數論分塊。

　　類似於$Ahoi$約數研究的思路。

　　首先，對取模式子化簡得：$k\;mod\;i=k-i\times\lfloor{k/i}\rfloor$。

　　所以最後的$ans=\sum\limits_{i=1}^{n}{(k-i\times\lfloor{k/i}\rfloor)}=n\times k-\sum\limits_{i=1}^{n}{i\times\lfloor{k/i}\rfloor}$

　　對於$i\times\lfloor{k/i}\rfloor$中，$\lfloor{k/i}\rfloor$有許多是相同的，假設$x=\lfloor{k/i}\rfloor$（$i$為第一次出現$x$值的下標），則$i_{max}=\lfloor{k/x}\rfloor$，從$i$到$i_{max}$共有$i_{max}-i+1$個$x$。

　　註意到$i\times\lfloor{k/i}\rfloor$中還有系數$i$，而$i$到$i_{max}$是遞增的（每次加$1$），所以是一個公差為$x$的等差序列，直接套上等差數列求和公式即可。

　　因為$i\leq n$且$\lfloor{k/i}\rfloor$可能為$0$，所以記得判斷邊界。

　　由於$\lfloor{k/i}\rfloor$的值最多有$2\times\sqrt{n}$個，所以時間復雜度為$O(\sqrt{n})$。

代碼：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define ll long long
 4 #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
 5 #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
 6 #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 7 #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
 8 using namespace std;
 9 ll ans=0,n,k;
10 
11 int main(){
12     ios::sync_with_stdio(0);
13     cin>>n>>k;
14     int p;
15     ans=n*k;
16     for(ll i=1;i<=n;i=p+1){
17         p=(k/i?Min(k/(k/i),n):n);
18         ans-=(k/i)*(i+p)*(p-i+1)/2;
19     }
20     cout<<ans;
21     return 0;
22 }

P2261 [CQOI2007]余數求和