李老師用的是精靈寶可夢做的比喻，假設進化後的寶可夢的cp值(Combat Power)與未進化之前的寶可夢的cp值相關，我們想找出這兩者之間的函式關係，可以設進化後的cp值為y,進化之前的cp值為x：y = b + w*x (不只可以設一次項，還可以設定二次項，三次項...，這個後面寫)

  我們的目的是將上述函式中b和w的值求出來，這裡就引出了一個函式：loss function,如下圖：

  這個函式的意義是每個實際的資料和預測資料的差值平方求和，如下圖：

  由此我們可以想到，要想預測的函式貼合實際情況，那麼我們的loss function必須求得最小值，(注：現在的w b是該函式的變數

   以w為例，隨機取w=w0,如上圖公式，當導數為負時，w0增大，導數為正，w0減小，不停進行迭代，最終停留在微分為0的點。n為學習速率，調整n的大小，可以改變迭代的次數。

問題：1、用更高次數的函式是可以的，因為他們是包含關係，但過高會出現過擬合現象

           2、其實導數為0的情況也不一定是最小值(特殊情況，上面的圖已經全部包含)

下面是計算這個函式的程式碼(python):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x_data = [338., 333., 328., 207., 226., 25., 179., 60., 208., 606.]
y_data = [640., 633., 619., 393., 428., 27., 193., 66., 226., 1591.]
# ydata = b + w * xdata
x = np.arange(-200, -100, 1) #bias
y = np.arange(-5, 5, 0.1) #weight
Z = np.zeros((len(x), len(y))) #建立一個len(x)*len(y)的零矩陣
print(Z)
# X, Y = np.meshgrid(x, y)
#計算loss function
for i in range(len(x)):
    for j in range(len(y)):
        b = x[i]
        w = y[j]
        Z[j][i] = 0
        for n in range(len(x_data)):
            Z[j][i] = Z[j][i] + (y_data[n] - b - w*x_data[n])**2
        Z[j][i] = Z[j][i] / len(x_data)

# ydata = b + w * xdata
b = -120 # initital b
w = -4 # initial w
lr = 1 # learning rate
iteration = 100000

# Store initial values for plotting
b_history = [b]
print(b_history)
w_history = [w]

lr_b = 0
lr_w = 0

# Iterations
for i in range(iteration):
    b_grad = 0
    w_grad = 0
    for n in range(len(x_data)):
        b_grad = b_grad - 2.0*(y_data[n] - b - w*x_data[n])*1.0
        w_grad = w_grad - 2.0*(y_data[n] - b - w*x_data[n])*x_data[n]

    lr_b = lr_b + b_grad**2
    lr_w = lr_w + w_grad**2

    # Update paramaters
    # adagrad,累加當前梯度平方和，學習速率再除以累加的根號
    b = b - lr/np.sqrt(lr_b) * b_grad
    w = w - lr/np.sqrt(lr_w) * w_grad

    # 初始版本，靠調lr改變影象
    #b = b - lr * b_grad
    #w = w - lr * w_grad

    #Store paramaters for plotting
    b_history.append(b)
    w_history.append(w)

# plot the figure
plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet'))
plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=12, markeredgewidth=3, color='orange')
plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black')
plt.xlim(-200, -100)
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel(r'$b$', fontsize=16)
plt.ylabel(r'$w$', fontsize=16)
plt.show()
 

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