四種求最大子序列的演算法與分析(python描述)

def method_of_exhaustion(lst):
    length = len(lst)
    this_sum = max_sum = 0
    for i in range(length):
        for j in range(i, length):
            this_sum = 0
            for k in range(i, length):
                this_sum += lst[k]
            if 
 this_sum > max_sum:
                max_sum = this_sum
    return max_sum

第一種演算法是最容易也是最容易懂的一種演算法，演算法的核心思想很簡單，就是窮舉所有的可能解，然後通過比較返回最優解

演算法分析

第一層迴圈的索引i表示子序列左端的位置，第二層迴圈表示子列右端位置，第三層迴圈計算該子列的大小
這裡寫圖片描述
從示意圖可以看到，i從0遍歷到length(陣列的長度)，j從遍歷到length，在j的每一趟中，最內層迴圈都要從i到j計算一次子序列的大小，其實這是完全沒必要的，假設陣列a在i的某趟中，j + 1時的子序列的值為a[j] + a[j + 1]，即j的前一個子序列的值加上當前索引j在陣列中的值。由此衍生出第二個演算法。

時間複雜度分析

1、直觀的看可以看到函式中有三個迴圈，所以時間複雜度為O( $N^3$ )。

2、精確的分析來看，該函式是由三重巢狀for迴圈組成的，最外層的迴圈次數為 $N = length$ ，即陣列的長度。
第2個迴圈大小為 $N - i$ ，它可能要小，但也可能是 $N$ 。

我們必須假設最壞的情況，而這可能會使最終的界有些大。

第3個迴圈的大小為 $j - i + 1$ 我們也要假設它的大小為 $N$ 。因此總數為 $O(1 · N · N · N) = O(N^3)$
第2行和和3行總共的開銷只是 $O(1)$ ，而語句6和10也只不過總共開銷 $O(N^2)$ ，因為它們只是兩層迴圈內部的簡單表示式。

3、更精確的分析來看，考慮到這些迴圈的實際大小，更精確的分析指出答案是 $Θ(N^3)$ ，而在我們上面的估計高6倍（不過這並無大礙，因為常數不影響數量級）。一般來說，在這類問題中上述結論是正確的。精確的分析由和 $\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=i}^{N-1}\sum_{k=i}^{j}1$ 得到，該“和”指出程式的第14行被執行多少次。首先有：

\sum_{k = i}^{j} 1 = j - i + 1

$\sum_{k=i}^j 1 = j - i + 1$
接著，得到

\sum_{j = i}^{N - 1} (j - i + 1) = \frac{(N - i + 1) (N - i)}{2}

$\sum_{j=i}^{N-1} (j - i + 1) = \frac{(N - i + 1)(N - i)}{2}$
這個和是對前

N - i

$N - i$ 個整數求和而計算得出的。為完成全部計算，我們有

\sum_{i = 0}^{N - 1} \frac{(N - i + 1) (N - i)}{2} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{(N - i + 1) (N - i + 2)}{2}

$\sum_{i=0}^{N-1} \frac{(N - i + 1)(N - i)}{2} = \sum_{i=1}^N \frac{(N - i + 1)(N - i + 2)}{2}$

= \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} i^{2} - (N + \frac{3}{2}) \sum_{i = 1}^{N} i + \frac{1}{2} (N^{2} + 3 N + 2) \sum_{i = 1}^{N} 1

$= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N i^2 - (N + \frac{3}{2})\sum_{i=1}^N i + \frac{1}{2}(N^2 + 3N + 2)\sum_{i=1}^N 1$

= \frac{1}{2} \frac{N (N + 1) (2 N + 1)}{6} - (N + \frac{3}{2}) \frac{N (N + 1)}{2} + \frac{N^{2} + 3 N + 2}{2} N

$=\frac{1}{2}\frac{N(N + 1)(2N + 1)}{6} - (N + \frac{3}{2})\frac{N(N + 1)}{2} + \frac{N^2 + 3N + 2}{2}N$

= \frac{N^{3} + 3 N^{2} + 2 N}{6}

四種求最大子序列的演算法與分析(python描述)

目錄

演算法1——窮舉法

演算法分析

時間複雜度分析

四種求最大子序列的演算法與分析(python描述)

求最大子序列之和的四種方法

HDU acm 1003 Max Sum || 動態規劃求最大子序列和詳解

JS求最大子序列的和

求最大子序列和（Java實現）

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