BZOJ 1367 [Baltic2004]sequence

Description

給定一個序列\(t_1,t_2,\dots,t_N\),求一個遞增序列\(z_1<z_2<\dots<z_N\)，使得\(R=|t_1-z_1|+|t_2-z_2|+\dots+|t_N-z_N|\)的值最小，本題中，我們只需求出這個最小的\(R\)值

Input

第\(1\)行為\(N(1\le N\le10^6)\)

第\(2\)行到第\(N+1\)行，每行一個整數。第\(K+1\)行為\(t_k(0\le t_k \le 2\times 10^9)\)

思路：

如果我們需要求一個非遞減的\(z\)

考慮特殊情況

注意到對一個遞增的序列，有\(z_i=t_i\)

對一個遞減的序列，有\(z_i\)為\(t_i\)的中位數

所以猜測可以找到一種區間的劃分，使每一段區間的\(z_i\)都是這段區間\(t_i\)的中位數

感性理解一下感覺是對的。

實現起來需要動態維護末尾的區間的中位數，我們每次新進一個元素的時候，自己成一個區間，然後比一下和末尾的區間的中位數，比\(\text{Ta}\)小就合併了。注意到可以用堆維護中位數，然後合併就可並堆了。

最後一點，上面的情況都是針對非遞減的情況，改成遞增也很簡單，把\(t_i=t_i-i\)就行了，感性理解一下似乎挺容易的。

Code:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define ll long long
const int N=1e6+10;
int n,m,dis[N],key[N],rig[N],root[N],siz[N],ch[N][2];
#define ls ch[x][0]
#define rs ch[x][1]
int Merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y) return x+y;
    if(key[x]<key[y]) std::swap(x,y);
    rs=Merge(rs,y);
    if(dis[ls]<dis[rs]) std::swap(ls,rs);
    dis[x]=dis[rs]+1;
    siz[x]=siz[ls]+siz[rs]+1;
    return x;
}
void maintain()
{
    int x;
    while(rig[m]-rig[m-1]+1>>1<siz[x=root[m]])
        root[m]=Merge(ls,rs);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",key+i),key[i]-=i;
        ++m,rig[m]=root[m]=i,siz[i]=1;
        while(key[root[m-1]]>key[root[m]])
            root[m-1]=Merge(root[m-1],root[m]),rig[m-1]=rig[m],--m,maintain();
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=rig[i-1]+1;j<=rig[i];j++)
            ans=ans+abs(key[j]-key[root[i]]);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
 

2018.12.10