牛頓法(Newton‘s method)和擬牛頓法(quasi Newton method)

阿新 • • 發佈：2018-12-11

簡述

在看伊恩·古德費洛的深度學習，4.3節基於梯度的優化方法時提到

僅使用梯度資訊的優化演算法稱為 一階優化演算法 ，如梯度下降。

使用Hessian矩陣的優化演算法稱為 二階最優化演算法 ，如牛頓法。

牛頓法和擬牛頓法時求解無約束最優化問題的常用方法，收斂速度快。

牛頓法是迭代演算法，每一步需要求解目標函式的海賽矩陣的逆矩陣，計算比較複雜；

擬牛頓法通過正定矩陣近似海賽矩陣的逆矩陣或海賽矩陣，簡化這一計算過程。

下面記錄一下對牛頓法的一點理解

牛頓法(Newton‘s method)

儲備知識：泰勒展開式

當 $x_{0}$ =0時就是麥克勞倫展開式

以及常見函式的展開式

應用A：求解方程

將利用泰勒公式在 $x_{0}$ 處展開到一階 $f(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f^{'}(x_{0})$

令 $f(0)$ =0，求解得到 $x=x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f^{'}(x_{0})}$

$f(x{_{1}})$ 比 $f(x{_{0}})$ 更接近於 $f(x)$ =0

可以推出 $x(n+1)=x(n)-\frac{f(x(n))}{f^{'}(x(n+1))}$

應用B：最優化

將利用泰勒公式展開到二階 $f(x+\bigtriangleup x)=f(x)+\bigtriangleup xf^{'}(x)+\frac{1}{2}\bigtriangleup x^{^{2}}f^{''}(x)$

當 $\bigtriangleup x$ 趨向於0時， $f^{'}(x)+\bigtriangleup xf^{''}(x)=0$

求解 $\bigtriangleup x=-\frac{f^{'}(x)}{f^{''}(x)}$

得到迭代公式 $x_{n+1}=x_{n}-\frac{f^{'}(x_{n})}{f^{''}(x_{n})}$ ，n=0,1,2……

可以看到牛頓法的迭代步長為 $\frac{1}{f^{''}(x_{n})}$

常見的最優化方法有：梯度下降法、牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法等等

如下圖紅色曲線是利用牛頓法迭代求解；綠色曲線是利用梯度下降法迭代求解。

從本質上來講，最優化求解問題的迭代形式都是 $x_{n+1}=x_{n}-nf^{'}(x_{n})$

，其中n是係數， $f^{'}(x_{n})$ 是函式的梯度，即函式上升的方向， $-f^{'}(x_{n})$ 是梯度下降的方向。

最優化問題的標準形式是：求目標函式最小值，只要每次迭代沿著下降的方向可以逐漸達到最優

參考博文：Newton法（牛頓法 Newton Method）

待補充

擬牛頓法(quasi Newton method)

牛頓法(Newton‘s method)和擬牛頓法(quasi Newton method)

簡述在看伊恩·古德費洛的深度學習，4.3節基於梯度的優化方法時提到僅使用梯度資訊的優化演算法稱為一階優化演算法，如梯度下降。使用Hessian矩陣的優化演算法稱為二階最優化演算法，如牛頓法。牛頓法和擬牛頓法時求解無約束最

最優化方法：牛頓迭代法和擬牛頓迭代法

基礎拐點若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。拐點的必要條件：設f(x){\displaystyle f(x)}在(a,b){\displaystyle (a,b)}內二階可導，x0∈ (a,b){\displaystyle

牛頓迭代法(Newton's Method)

簡介牛頓迭代法（簡稱牛頓法）由英國著名的數學家牛頓爵士最早提出。但是，這一方法在牛頓生前並未公開發表。牛頓法的作用是使用迭代的方法來求解函式方程的根。簡單地說，牛頓法就是不斷求取切線的過程。對於形如f(x)=0的方程，首先任意估算一個解x0，再把該估計值代入原方

牛頓法（Newton’s method）

牛頓法通常都是用來尋找一個根，同時也可以理解為最大化目標函式的區域性二次近似。設我們的目標函式為f(x)，那麼一個關於x0的二次近似就有：我們用f進行匹配：可以得到：如果b<0,g的最大值為a，得到更新規則：這是牛頓法在最優化方面的表述，但是一旦，牛頓

牛頓方法（Newton's Method）

在講義《線性迴歸、梯度下降》和《邏輯迴歸》中我們提到可以用梯度下降或梯度上升的方式求解θ。在本文中將講解另一種求解θ的方法：牛頓方法（Newton's method）。牛頓方法（Newton's method）邏輯迴歸中利用Sigmo

最優化學習筆記（五）牛頓法及擬牛頓法

div size -a article fonts alt water src jsb 最優化學習筆記（五）牛頓法及擬牛頓法

常見的幾種最優化方法（梯度下降法、牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法等）

linear 樣本計算每次理學系統是否底部有效我們每個人都會在我們的生活或者工作中遇到各種各樣的最優化問題，比如每個企業和個人都要考慮的一個問題“在一定成本下，如何使利潤最大化”等。最優化方法是一種數學方法，它是研究在給定約束之下如何尋求某些因素(的量)，以

牛頓法與擬牛頓法學習筆記

機器學習演算法中經常碰到非線性優化問題，如 Sparse Filtering 演算法，其主要工作在於求解一個非線性極小化問題。在具體實現中，大多呼叫的是成熟的軟體包做支撐，其中最常用的一個演算法是 L-BFGS。為了解這個演算法的數學機理，這幾天做了一些調研，現把學習過程中理解的一些東西整

【數學】梯度下降，牛頓法與擬牛頓法

梯度下降將f(x)f(x)一階泰勒展開： f(x)=f(x0)+(x−x0)f′(x0)f(x)=f(x0)+(x−x0)f′(x0) f(x)=f(x0)+Δxf′(x0)f(x)=f(x0)+Δxf′(x0) 如果當前處於x0x0節點，要使得前進同樣的

牛頓法與擬牛頓法學習筆記（一）牛頓法

機器學習演算法中經常碰到非線性優化問題，如 Sparse Filtering 演算法，其主要工作在於求解一個非線性極小化問題。在具體實現中，大多呼叫的是成熟的軟體包做支撐，其中最常用的一個演算法是 L-BFGS。為了解這個演算法的數學機理，這幾天做了一些調研，現把學習過程

牛頓法與擬牛頓法詳解

參考網址：http://blog.csdn.net/itplus/article/details/21896453 牛頓法： http://blog.csdn.net/itplus/article/details/21896453 擬牛頓條件： http://blog.csdn.ne

牛頓法與擬牛頓法學習心得

1. 引言在logistics迴歸中，我們通常使用梯度下降法（Gradient Decend）來優化目標函式。但梯度下降法的策略實際上是比較片面的，因為它只使用了一階導資訊，搜尋方向（梯度方向）比較偏向於區域性資訊。所以，我們引入了牛頓法。這裡推薦一個牛頓法

無約束演算法-最速下降，牛頓法，擬牛頓，共軛梯度求解二次函式極小值

import numpy as np import math a=np.random.randint(1,10,size=[100,1]) G=(a*a.T)+np.random.randint(1,5)*np.eye(100) b=np.dot(G,np.ones(

【機器學習詳解】解無約束優化問題：梯度下降、牛頓法、擬牛頓法

無約束優化問題是機器學習中最普遍、最簡單的優化問題。 x∗=minxf(x),x∈Rn 1.梯度下降梯度下降是最簡單的迭代優化演算法，每一次迭代需求解一次梯度方向。函式的負梯度方向代表使函式值減小最快的方向。它的思想是沿著函式負梯度方向移動逐步逼

數學建模三單變數優化和求解牛頓迭代法

#include<iostream> #include<cmath> using namespace std; double f(double x); double f1(do

牛頓法與擬牛頓法學習筆記（四）BFGS 演算法

機器學習演算法中經常碰到非線性優化問題，如 Sparse Filtering 演算法，其主要工作在於求解一個非線性極小化問題。在具體實現中，大多呼叫的是成熟的軟體包做支撐，其中最常用的

機器學習中常見的優化方法：梯度下降法、牛頓法擬牛頓法、共軛梯度法、拉格朗日乘數法

機器學習中常見的優化方法：梯度下降法、牛頓法擬牛頓法、共軛梯度法、拉格朗日乘數法主要內容梯度下降法牛頓法擬牛頓法共軛梯度法拉格朗日乘數法許多機器學習演算法，往往建立目標函式（損失函式+正則項），通過優化方法進行優化，根據訓練

機器學習學習筆記（4）牛頓法擬牛頓法

牛頓法考慮無約束最優化問題其中為目標函式的極小點。假設f(x)有二階連續偏導數，若第k次迭代值為，則可將f(x)在附近進行二階泰勒展開：這裡是f(x)的梯度向量在點的值，是f(x)的海塞矩陣: 在點的值，函式f(x)有極值的必要條件是在極值點處一階

梯度下降法、隨機梯度下降法、批量梯度下降法及牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法

引言李航老師在《統計學習方法》中將機器學習的三要素總結為：模型、策略和演算法。其大致含義如下：模型：其實就是機器學習訓練的過程中所要學習的條件概率分佈或者決策函式。策略：就是使用一種什麼樣的評價，度量模型訓練過程中的學習好壞的方法，同時根據這個方

MATLAB學習筆記05——無約束一維極值問題（二）斐波那契法、基本牛頓法和全域性牛頓法

一、斐波那契法 1.斐波那契法與黃金分割法不同的是，黃金是單向縮小區間的演算法，斐波那契是雙向收縮。斐波那契數列指的是 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

牛頓法(Newton‘s method)和擬牛頓法(quasi Newton method)

簡述

牛頓法(Newton‘s method)

擬牛頓法(quasi Newton method)

相關推薦