最優二叉搜尋樹

假定我們正在設計一個程式，實現英語文字到法語的翻譯。對英語文字中出現的每個單詞，我們需要查詢對應的法語單詞。為了實現這些查詢操作，可以建立一棵二叉搜尋樹，將n個英語單詞作為關鍵字，對應的法語單詞作為關聯資料。由於文字中的每個單詞都要進行搜尋，我們希望花費在搜尋上的總時間儘量少。

通過紅黑樹或其他平衡搜尋樹結構，我們可以假定每次搜尋時間為O(lgn) 。但由於單詞出現的頻率是不同的，像“the”這種頻繁使用的單詞有可能位於搜尋樹中遠離根的位置上，而像“machicolation”這種很少使用的單詞可能位於靠近根的位置上。這樣的結構會減慢翻譯的速度，因為二叉樹搜尋樹中搜索一個關鍵字的權重是深度+1

這個問題稱為最優二叉搜尋樹(optimal binary search tree)問題。其形式化定義如下：給定一個n個不同關鍵字已排序的序列 $K=<k1,k2,...,kn>$ (因此 $k1<k2<...<kn$

下圖顯示了對一個n=5個關鍵字的集合構造的兩顆二叉搜尋樹。每個關鍵字 $ki$ 是一個內部結點，而每個偽關鍵字 $di$ 是一個葉結點。每次搜尋要麼成功(找到某個關鍵字 $ki$ )要麼失敗(找到某個偽關鍵字 $di$ )，因此有如下公式：

由於我們知道每個關鍵字和偽關鍵字的搜尋頻率，因而可以確定在一棵給定的二叉搜尋樹 $T$ 中進行一次搜尋的期望代價。假定一次搜尋的代價等於訪問的結點數，即此次搜尋找到的結點在 $T$ 中的深度再加$1$。那麼在$T$中進行依次搜尋的期望代價為： 其中 $depth(T)$ 表示一個結點在樹T中的深度。最後一個等式是由公式(15.10)推導而來。在圖15-9(a)中，我們逐結點計算期望搜尋代價：

對於一個給定的概率集合，我們希望構造一棵期望搜尋代價最小的二叉搜尋樹，我們稱之為最優二叉搜尋樹。圖15-9(b)所示的二叉搜尋樹就是給定概率集合的最優二叉搜尋樹，其期望代價為2.75。這個例子顯示二叉搜尋樹不一定是高度最矮的。而且，概率最高的關鍵字也不一定出現在二叉樹搜尋樹的根結點。在此例中，關鍵字 $k5$ 的搜尋概率最高，但最優二叉搜尋樹的根結點為 $k2$ (在所有以 $k5$ 為根的二叉搜尋樹中，期望搜尋代價最小者為2.85)。

與矩陣鏈乘法問題相似，對本問題來說，採用窮舉法需檢查指數棵二叉搜尋樹。不出意外，將使用動態規劃方法求解此問題。

• 步驟1：最優二叉搜尋樹的結構 為了刻畫最優二叉搜尋樹的結構，我們從觀察子樹特徵開始。考慮一棵二叉搜尋樹的任意子樹。它必須包含連續關鍵字 $k(i),...k(j)，1<=i<=j<=n，$ 而且其葉結點必然是偽關鍵字 $d(i-1),...,d(j)$ 。

  我們現在可以給出二叉搜尋樹問題的最優子結構：如果一棵最優二叉搜尋樹T有一棵包含關鍵字 $k(i),...,k(j)$ 的子樹T’，那麼T’必然是包含關鍵字 $k(i),...,k(j)$ 和偽關鍵字 $d(i-1),...,d(j)$ 的子問題的最優解。我們依舊用“剪下-貼上”法來證明這一結論。如果存在子樹T’’，其期望搜尋代價比T’低，那麼我們將T’從T中刪除，將T’'貼上到相應的位置，從而得到一顆期望搜尋代價低於T的二叉搜尋樹，與T最優的假設矛盾。

  我們需要利用最優子結構性質來證明，我們可以用子問題的最優解構造原問題的最優解。給定關鍵字序列$k(i),...,k(j)$，其中某個關鍵字，比如說$k(r)(i<=r<=j)$，是這些關鍵字的最優子樹的根結點。那麼k®的左子樹就包含關鍵字$k(i),...,k(r-1)$(和偽關鍵字$d(i-1),...,d(r-1)$)，而右子樹包含關鍵字$k(r+1),...,k(j)$(和偽關鍵字$d(r),...,d(j)$)。只要我們檢查所有可能的根結點$k(r)(i<=r<=j)$，並對每種情況分別求解包含$k(i),...,k(r-1)$及包含$k(r+1),...,k(j)$的最優二叉搜尋樹，即可儲存找到原問題的最優解。

  這裡還有一個值得注意的細節——“空子樹”。假定對於包含關鍵字$ki,...,kj$的子問題，我們選定$ki$為根結點。根據前文論證，$k(i)$的左子樹包含關鍵字$k(i),...,k(i-1)$的子問題，我們將此序列解釋為不包含任何關鍵字。但請注意，子樹仍然包含偽關鍵字。按照慣例，我們認為包含關鍵字序列$k(i),...,k(i-1)$的子樹不包含任何實際關鍵字，但包含單一偽關鍵字$d(i-1)$。對稱地，我們如果現在$k(j)$為根結點，那麼$k(j)$的右子樹包含關鍵字$k(j+1),...,k(j)$——此右子樹不包含任何實際關鍵字，但包含偽關鍵字$d(j)$。

• 步驟2：一個遞迴演算法

  我們已經準備好給出最優解值的遞迴定義。我們選取子問題域為：求解包含關鍵字$k(i),...,k(j)$的最優二叉搜尋樹，其中$i>=1，j<=n$且$j>=i-1$(當$j=i-1$時，子樹不包含實際關鍵字，只包含偽關鍵字$d(i-1)$。定義$e[i,j]$為包含關鍵字$k(i),...,k(j)$的最優二叉搜尋樹中進行一次搜尋的期望代價，最終，我們希望計算出$e[1,n]$。

  j=i-1的情況最為簡單，由於子樹只包含偽關鍵字d(i-1)，期望搜尋代價為 $e[i,i-1]=q(i-1)$ 。

  當$j>=i$時，我們需要從$k(i),...,k(j)$中選擇一個跟結點$k(r)$，然後構造一棵包含關鍵字$k(i),...,k(r-1)$的最優二叉搜尋樹作為其左子樹，以及一棵包含關鍵字$k(r+1),...,k(j)$的二叉搜尋樹作為其右子樹。當一棵子樹成為一個結點的子樹時，期望搜尋代價有何變化？由於每個結點的深度都增加了1，根據公式(15.11)，這棵子樹的期望搜尋代價的增加值應為所有概率這和。對於包含關鍵字 $k(i),...,k(j)$ 的子樹，所有概率之和為：

  因此，若k為包含關鍵字 $k(i),...,k(j)$ 的最優二叉搜尋樹的根結點，我們有如下公式： $e[ i , j ] =p ( r ) + (e[ i , r-1 ] + w( i , r-1 ) ) + ( e[ r+1 , j ] + w( r+1 , j ) )$ 注意，$w( i , j ) = w( i , r-1 ) + p ( r ) + w( r + 1 , j )$ 因此e[ i , j ]可重寫為： $e[ i , j ] = e[ i , r-1 ] + e[ r+1 , j ] + w( i , j )$ (15.13) 遞迴公式(15.13)假定我們知道哪個結點k應該作為根結點。如果選取期望搜尋代價最低者作為根結點，可得最終遞迴公式(15.14)： ①若j=i-1，$e[i,j]=q(i-1)$ ②若i<=j，$e[i,j]=min{e[i,r-1]+e[r+1,j]+w(i,j)} (i&lt;=r&lt;=j)$

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