灰度級範圍為[0,L-1]的數字影象的直方圖是離散函式：

其中是第k級灰度值(=k)，是影象中灰度值為的畫素個數。

通常用MN表示的影象畫素的總數除它的每個分量來歸一化直方圖，即：

M和N分別是影象的行和列維數，k = 0,1,...,L-1。歸一化直方圖的所有分量和為1。

若一幅影象的畫素傾向於佔據整個可能的灰度級並且均勻分佈，則該影象會有高對比度的外觀和灰度細節豐富的特點。如下圖：

直方圖均衡

用變數r表示待處理的影象的灰度，灰度變換函式通常需要滿足兩個條件：

• (a) T(r)在空間上為單調遞增函式
• (b) 當時，

當考慮反函式時，條件(a)改為：

• (a') T(r)在空間
  上是嚴格單調遞增函式

條件(a)保證輸出灰度值不少於相應的輸入值，防止灰度反變換時產生人為的缺陷；條件(b)保證輸出灰度的範圍與輸入灰度的範圍相同；條件(a')保證從s到r的反對映是單值的，即一對一的，防止出現二義性。如下圖：

 為了產生均衡的直方圖，使用如下的灰度變換函式：

....................................(1)

容易看出，該變換滿足條件a和b。

下面解釋為什麼經過(1)式的灰度變換能產生均衡直方圖。

令和分別表示隨機變數r和s的概率密度函式(PDF)。若和T(r)已知，則變換後的變數s的PDF為：

  ......................................................(2)

使用(1)式的變換函式，得：

將dr/ds代入(2)式，得：

可知，始終是一個均勻概率密度函式，與的形式無關。所以，經過(1)式灰度變換的影象能產生均衡直方圖。

(1)式的積分形式針對的是連續灰度值，而對於離散值，用求和的形式處理。一幅影象中灰度級出現的概率為：

(1)式中變換的離散形式為：

注：在實際使用中，需要將灰度值取近似為最接近的整數。

直方圖匹配（規定化）

直方圖匹配或直方圖規定化，是指處理後的影象具有規定的直方圖形狀。

具體說來就是，要找到一個灰度變換函式，使影象在該灰度變換函式的作用下，產生一個我們指定形狀的直方圖，所謂指定形狀的直方圖形狀，其實就是一個指定的概率密度函式。

假設r和z分別表示輸入影象和輸出影象的灰度級，是輸入影象的概率密度函式，是我們希望輸出影象所具有的指定概率密度函式。

令：

可以看出，這就是直方圖均衡中的變換函式。知道，就能得到T(r)。

定義隨機變數z：

同樣，知道，就能得到G(z)，而就是我們指定的概率密度函式。

可得：

上式就是我們要求的直方圖匹配的灰度變換函式。

對於離散形式，類似的我們令：

其中，規定的直方圖的第i個值，是規定的直方圖對應的影象的第q級灰度值（=q），利用反變換找到期望的：

實踐中，並不需要反變換。因為我們處理的灰度級是整數（如8位元影象的灰度級是從0到255），我們常用下面的直方圖規定化過程：

1. 計算給定影象的及其直方圖均衡變換，把四捨五入為範圍[0,L-1]內的整數；
2. 對q=0,1,2,...,L-1計算，其中規定的直方圖的值，把G四捨五入為範圍[0,L-1]內的整數，將G存在一個表中；
3. 對每一個，k=0,1,2,...,L-1，從步驟2中儲存的G值表中尋找使最接近。例如表中第64個最接近，則根據的定義，此時q=63，也就是=63。當滿足給定的值多於一個時，按慣例選擇最小的值。

參考資料：岡薩雷斯《數字影象處理》