上一篇文章學習了：如何分析、統計演算法的執行效率和資源消耗？ 點選連結檢視上一篇文章：複雜度分析上

今天的文章學習以下內容：

• 最好情況時間複雜度
• 最壞情況時間複雜度
• 平均情況時間複雜度
• 均攤時間複雜度

1、最好與最壞情況時間複雜度

我們首先來看一段程式碼，利用上一篇文章學習的知識看看能否分析出它的時間複雜度。

// n 表示陣列 array 的長度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if
 
 (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

這段程式碼很簡單：就是在一個數組中找到一個數X的下標，將其返回。

利用上一篇文章學習的大O表示法來分析時間複雜度的話，有一些問題。if迴圈中有一個breadk語句，當條件成立，得到下標值立馬退出迴圈。那麼時間複雜度，就不能籠統的說是O（n）。

因為當想要查詢的數就在第一個位置時，時間複雜度實際上是O（1），當想要查詢的數在最後一個位置的時候，時間複雜度是O（n）。那麼這個時候，我們就需要引入幾個新名詞：最好情況時間複雜度，最壞情況時間複雜度。

很容易理解。

• 最好情況時間複雜度就是在最理想的情況下，執行程式碼需要的時間複雜度。就像上述程式碼，如果想要查詢的數就是陣列中的第一個位置，那麼時間複雜度就是O（1），此時就是最好情況時間複雜度。
• 最壞情況時間複雜度是在最不理想的情況下，執行程式碼需要的時間複雜度。還是如上述程式碼，入股我們想要查詢的數在陣列的最後一個位置，那麼時間複雜度就是O（n），此時就是最壞情況時間複雜度。

其實還有一種情況，就是我們想要查詢的數不在第一個位置也不在最後一個位置的時候。此時的時間複雜度是多少呢？這種情況下叫做平均情況時間複雜度。

那麼平均情況時間複雜度如何計算？它是多少呢？

2、平均情況時間複雜度

還是拿上面的程式碼做例子。

想要計算出它的平均情況時間複雜度，有兩種方法，一種不嚴謹的感官上的方法，一種嚴格的概率上的方法。

1. 不嚴謹的感官上的方法

我們知道，想要查詢的資料x有兩種情況的存在，一種是存在陣列的0~n-1的某一個位置（n種可能），一種是不在這個陣列中（1中可能，就是不在陣列中）。這兩種情況一共有n+1種可能。對於在陣列中的n中可能中，每一種查詢的次數分別是1,2,3,4…n。對於不在陣列中的這種可能，查詢次數是n。所以可以這麼計算平均情況時間複雜度：

(1+2+3+...+n+n)/(n+1)=n(n+3)/2(n+1)

上一篇文章我們知道，利用大O表示法，，可以將計算結果的係數，低階，常量去掉。那麼上述的結果就是O（n）。

為什麼說他不嚴謹呢？考慮以下情況。要找的數x存在於陣列中與不存在於陣列中的概率是否一樣？x存在的話。它存在於陣列中每個位置的概率是否一樣？

很明顯，上述方法沒有考慮概率的問題。

2. 概率的方法

現在假設，x出現在陣列中與不出現在陣列中的概率是相等的，都是1/2.同時假設x如果出現在陣列中，則它存在陣列中的每一個位置的概率都是一樣的1/n。那麼可以用如下方法計算平均情況時間複雜度。

$（1 \times \frac{1}{n} \times \frac{1}{2}+2 \times \frac{1}{n} \times \frac{1}{2} +3 \times \frac{1}{n} \times \frac{1}{2} +...+n \times \frac{1}{n} \times \frac{1}{2} + n \times \frac{1}{2}）= \frac{3n+1}{4}$

利用大O表示法來表示的話，依然是O（n）。這就是上面那段程式碼的平均情況時間複雜度。

一般情況下，我們只是用其中一種複雜度來分析問題就夠了，不需要費力去求解三種時間複雜度。只有在時間複雜度有量級的差距時，才會在不同的情況下使用不同的時間複雜度。

3、均攤時間複雜度

上面學會了最好最壞與平均時間複雜度。還有一種時間複雜度叫做均攤時間複雜度。 為了理解均攤時間複雜度，我們先來看一個程式碼：

 // array 表示一個長度為 n 的陣列
 // 程式碼中的 array.length 就等於 n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

上述程式碼的意思是：往陣列中插入資料。當陣列沒有滿的時候，直接在最後插入，當陣列滿的時候，先把陣列的所有元素求和，然後清空陣列，將求得的和放到陣列的第一個位置，然後將要插入的數插到第二個位置（聰明的人已經發現它其實就是一個求輸入流中所有數字的和，至於清空陣列，這個只是將下標count從末尾挪到第二個位置，就可以認為是清空陣列）。

利用上述的分析，我們可以求得：

• 最好情況時間複雜度：O（1），因為陣列不滿的時候直接插入，不用計算和。
• 最壞情況時間複雜度：O（n），因為此時陣列滿了，需要遍歷一遍陣列然後求和。

平均時間複雜度，還可以利用上述的概率分析法來計算。假設陣列長度是n，往陣列插入資料會有兩種情況發生。陣列沒滿時，插入的時間複雜度是O（1），且插入的位置有n種可能。陣列滿時，插入的時間複雜度是O（n），插入的位置只有一種可能。所以一共有n+1種可能插入的位置，且插入到它們位置的概率是一樣的都是1/（n+1）。所以可以利用下面的方法計算平均情況時間複雜度：
$（1 \times \frac{1}{n+1}+2 \times \frac{1}{n+1} +3 \times \frac{1}{n+1} +...+n \times \frac{1}{n+1} + n \times \frac{1}{n+1}）= O（1）$

所以

• 平均情況時間複雜度：O（1）

上述計算平均時間複雜度的方法，不管怎麼樣，還是有一些複雜。畢竟我們不是研究數學的。所以還是希望儘可能簡單。

針對上面的兩個程式碼例子，一個是find函式，一個是insert函式。看看他們有什麼不同。find函式是最極端的情況下時間複雜度是O（1），大多數的情況下時間複雜度是O（n），而insert函式是大多數情況下的時間複雜度是O（1），只有極端的情況下時間複雜度是O（n）。

而且，對於insert函式，它的O（1）出現的是連續出現多次，然後出現一次O（n）時間複雜度。這具有一種時序關係。

針對這種情況，給出一種特殊的時間複雜度分析方法，均攤時間複雜度。可以通過攤還分析法，的帶均攤時間複雜度。那麼針對insert函式，如何通過攤還分析法來得到均攤時間複雜度呢？

首先，對於insert函式，大多是出現O（1）時間複雜度的，一共出現n次O（1）時間複雜度後，才出現一次O（n）時間複雜度。雖然O（n）時間複雜度消耗的時間比較多，但是O（1）時間複雜度出現的次數多，我們可以將O（n）消耗的時間，均攤給其他n個O（1）時間複雜度操作上的話，對於O（1）時間複雜度，也並不會有多大的影響，就好比，100個人共同擡100斤水泥，而另外又有一個人在擡100斤水泥，如果這個人把水泥平均分給那100人，那100人也才每個人多擡了一斤的水泥，這相比讓那一個人擡100斤水泥，簡直不要太輕鬆！！！。 所以，對於insert函式均攤時間複雜度為O（1）。這等於大多數情況下的時間複雜度。

綜上：

• 均攤時間複雜度為：O（1）

由以上的分析，我們得出，大概在以下情況下可以使用攤還分析來分析均攤時間複雜度

對一個數據結構進行連續的操作，如果大多數情況下的時間複雜度比較低，只有極端情況下時間複雜度很高，而且這些操作在時序上存在前後連貫的關係。那麼此時，就可以將比較耗時的那個操作，均攤給大多數低的時間複雜度的操作上。

而且，一般可以用均攤時間複雜度分析的情況，均攤時間複雜度就等於最好情況時間複雜度

4、總結

上面學習了四種時間複雜度的分析。但是一般來說，平均時間複雜度用的很少，均攤時間複雜度用的就更少。而且，均攤時間複雜度，實際上是一種特殊的平均時間複雜度。

所以不必糾結到底用什麼複雜度來分析問題，根據實際問題需要實際分析。對於一段程式碼，如果它的時間複雜度在不同情況下量級不同，可以採用不同的方法進行對比分析。其中最好最壞時間複雜度比較好分析，平均時間複雜度與均攤時間複雜度比較難分析。

但是對於平均和均攤。他們實際是一個意思，都有平均的意思。當出現O（1）操作的多於O（n）操作的時候，平均和均攤時間複雜度就都是O（1）。 這是一種感覺。一般情況下，我們都可以感覺對，而不用實際的計算。

本文是自己學習極客時間專欄-資料結構與演算法之美后的筆記總結。如有侵權請聯絡我刪除文章。

學習探討加個人（免費送技術書籍PDF電子書）：
qq：1126137994
微信：liu1126137994