進階篇：深入時間複雜度的實際情況

到目前為止，我們認識了何謂演演算法，以及評斷演演算法設計好壞的工具：時間複雜度。

接下來的部分，屬於比較進階的練功，對剛接觸的新手可能會覺得有點難度或沒辦法完全理解。小小的建議是，如果你看第一次沒辦法完全體會，可以留到對程式設計更熟悉後再回頭複習。而當然，如果有任何問題也都歡迎討論！

接下來，就讓我們來看一下進階篇吧！

步驟次數

細心的讀者可能會好奇，為何上面比較圖的縱軸專案是步驟數而不是執行時間呢？

首先，我們要先來小小定義一下在程式設計中的「步驟次數」是指什麼。通常在程式碼中，每個動作只要被執行一次，我們就會說他是一個步驟，而這些動作包含印出、賦值、陣列讀取等等。

舉例來說，在程式碼中我們宣告：

x = 10

賦予變數 x 數值 10 的這個動作就是一個步驟。再舉另外一個例子：

x = 10for i from 1 to x:    print("你好！")

在 for 後面的迴圈中，輸出”你好！”這個動作被執行從 x = 1 到 x = 10 總共 10 次，因此這個 for 迴圈總共的步驟次數就是 10。但也別忘了，第一行 x = 10 也是一個步驟，所以上面的三行程式碼總共的步驟次數 = 11。

執行時間 vs 步驟次數

現在，我們瞭解了步驟次數後，我們終於可以再進一步瞭解一個重要觀念：

演演算法有多快不是以秒衡量，而是以步驟次數

上面看電影的例子為了方便釐清大 O 符號跟輸入 n 的關係，我們用時間來舉例，但實際上，我們要真正衡量演演算法時，是以步驟次數來看。

為何看演演算法有多快不是用執行時間要幾秒呢？想像一下，美國 NASA 超級電腦需要執行 1 秒的程式，拿到我們家裡電腦執行可能需要 100 秒。而同樣的程式，用 C 語言寫跟用 Python 寫也跑的不一樣快。因為電腦效能和語言特性的都會造成影響，因此用執行時間來衡量演演算法的快慢顯然不是個穩定的指標。

回過頭來使用上面看電影的例子，假設取得電影的動作我們可以用一個「只要一個步驟」的函式 get_movie( ) 替代，則「想看十部電影之走路方案」的程式碼就是單純的

// 想看十部電影之走路方案：步驟次數 = 1 次// n = 10

get_movie( )

而「想看十部電影之下載方案」的程式碼可以寫成

// 想看十部電影之下載方案：步驟次數 = 10 次// n = 10

for i from 1 to n:      get_movie()

我們從上面兩段程式碼可以觀察，所謂「步驟次數」通常會以一段程式碼中迴圈執行的次數決定（先不考慮遞迴狀況，因為這部分太複雜）。假如今天是從 1 迭代到 n 的迴圈，代表步驟次數 n。同樣的如果是一個 n 迴圈裡面再包一個 n 迴圈，代表他的步驟次數就是 n²。而如果整段程式碼都沒有用到迴圈或遞迴，則步驟次數通常以 1 表示。

實務上我們如何記錄時間複雜度

好奇的讀者可能會有疑問，那如果一個程式中有好幾個迴圈，有單純的迴圈也有雙重迴圈，這樣的步驟次數換成大 O 符號要怎麼表示呢？讓我們從下面的程式碼來瞧瞧：

for i from 1 to n:      get_movie()

for i from 1 to n:      for j from 1 to n:           get_movie()

for i from 1 to n:      for j from 1 to n:           get_movie()

第一段的迴圈步驟次數是 n，第二段的步驟次數是 n²，第三段的步驟次數又重複了一次 n²，所以直觀地想，這一大段的程式碼的步驟次數就是 2n² + n。

但實務上，當我們要將步驟次數轉換成以大 O 符號紀錄的時間複雜度時，有一個很重要的原則，也就是要「盡可能化簡」。

數學上，在 n 相當相當大的時候，我們在比較兩個數的大小時可以只比較他們的最高次方。因此在記錄時間複雜度時，我們同樣地會只記錄最高次方的那一項。

另外，為了方便記錄，我們也會省略所有係數，讓時間複雜度的記錄可以符合「盡可能化簡」的原則。也因此，上面有 2n² + n 個步驟的程式，我們會把它的時間複雜度簡單記成 O(n²)。

此時，也許細心的讀者會有疑問，為何 2n² + n 個步驟的程式，我們會將它的時間複雜度記的跟兩倍步驟數（ 4n² + 2n ）一樣，都是 O(n²) 呢？

這邊，我們可以把大 O 符號想像成一個區段類別，而不是一個非常非常精確的記錄單位。因此所有落在最大係數 n² 這個區段的步驟數，我們就會全部將它們歸在 O(n²) 囉！

結論

呼！終於結束看完了這篇文章，希望身為程式麻瓜的讀者還保持清醒，而有學過程式的讀者也能藉這篇文章複習一下。

如果對演演算法與時間複雜度還意猶未盡，敬請鎖定 AppWorks School 的 Medium，我們在接下來的文章中會透過六個不一樣的時間複雜度，去認識在程式設計中一定要知道的六種經典演演算法哦！最後，留下這篇文章的小小筆記，讓大家方便溫故知新！

溫故知新

1. 演演算法的簡單定義：輸入 +演演算法 = 輸出
2. 時間複雜度：衡量演演算法執行好壞的工具
3. 大 O 符號：用來描述演演算法在輸入 n 個東西時，總執行時間與 n 的關係
4. 在 n 非常大時，好的演演算法設計可以省下非常多時間
5. 演演算法的速度不是以秒計算，而是以步驟次數
6. 實務上，我們只會紀錄最高次方的那一項，並忽略其所有的係數

延伸閱讀

如果對程式已經有一定基礎，想要更瞭解演演算法去增程序式設計的技巧的話，可以參考下面列出的這個網站，有非常非常詳盡的演演算法介紹。

註：事實上，表示時間複雜度的嚴謹符號（數學上稱為漸進符號）有五個，分別是 O、Ω、Θ、o、ω。而實務上大部分指的大 O 符號 (唸作大歐)，意思其實比較相近於大 Θ (唸作 theta)，但因為方便以及一些習慣大部分人還是使用大 O 比較多。為了避免初學者增加額外的負擔以及看到嚴謹數學就頭痛的壓力，本篇還是以大 O 來介紹，漸進符號的較嚴謹數學定義可見：http://alrightchiu.github.io/SecondRound/complexityasymptotic-notationjian-jin-fu-hao.html#com

簡單來說，O（大歐）代表的是「演演算法執行步驟數目上限」，Ω（大歐美加 Omega）代表的是下限，而 Θ(大細塔)則代表演演算法執行步驟數目同時滿足的上限與下限（不多不少剛剛好）。