其實主要是想發一下線性篩的板子，包括線性篩質數，歐拉函數和莫比烏斯函數。
當然也會有一點簡單的證明。


線性篩質數就不說啦。


然後加一個篩歐拉函數。
當\(i\)為質數的時候，自然\(\varphi(i) = i - 1\)。
令\(n = mp\)，
當\(m \ \ mod \ \ p == 0\)的時候，有\(\varphi(n) = \varphi(m) * p\)。
否則有\(\varphi(n) = \varphi(m) * (p - 1)\)。


證明一下吧：
1.若\(m \ \ mod \ \ p == 0\)，令\(m = k * p ^ x\)，這樣保證了\(k, p\)互質。
所以
\(\varphi(n) = \varphi(k) * \varphi(p ^ {x + 1})\)

void init()
{
  phi[1] = mu[1] = 1;
  for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
      if(!v[i]) v[i] = i, prime[++prime[0]] = i, phi[i] = i - 1, mu[i] = -1;
      for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= prime[0]; ++j)
    {
      int k = i * prime[j];
      v[k] = prime[j];
      if(i % prime[j] == 0)
        {
          phi[k] = prime[j] * phi[i];
          mu[k] = 0;
          break;
        }
      else phi[k] = (prime[j] - 1) * phi[i], mu[k] = -mu[i];
    }
    }
}
 

數論函數學習筆記之線性篩