並查集的三種操作 

（1）Union(Root1, Root2):把子集合Root2併入集合Root1中。要求這兩個集合互不相交，否則不執行合併。 （2）Find(x)：搜尋單元素x所在的集合，並返回該集合的名字。 （3）UnionFindSets(s):建構函式，將並查集中s個元素初始化為s個只有一個單元素的子集合。 --------------------- 本文來自 razor_edge 的CSDN 部落格 ，全文地址請點選：https://blog.csdn.net/weixin_37818081/article/details/78633187?utm_source=copy

我們可以把每個連通的分量看成一個集合，該集合包含了連通分量中的所有點。這些點兩兩連通，而具體的連通方式無關緊要，就好比集合中的元素沒有先後順序之分，只有屬於和不屬於的區別。在圖中，每個點恰好屬於一個連通分量，對應到集合表示中，每個元素恰好屬於一個集合。換句話說，圖的所有連通分量可以用若干不相交集合來表示。

並查集的精妙之處在於用樹來表示集合。例如，若包含點1,2,3,4,5,6的圖有3個連通分量{1,3}，{2,5,6},{4}，則需要用三棵樹來表示。這三棵樹的具體形態無關緊要，只要有一棵樹包含1,3兩個點，一棵樹包含2,5，6這三個點，還有一棵樹只包含4這一個點即可。我們規定每棵樹的根節點是這棵樹所對應的集合的代表元（representative）。

如果把x的父節點儲存在p[x]中（如果x沒有父親，則p[x]等於x），則不難寫出“查詢節點x所在數的根節點”的遞迴程式：

int find(int x){p[x]==x?x:find(p[x]);}

翻譯成大白話就是：如果p[x]等於x，說明x本身就是樹根，因此返回x；否則返回x的父親p[x]所在樹的樹根。

問題來了：在特殊情況下，這棵樹可能是一條長長的鏈。設鏈的最後一個結點為x，則每次執行find(x)都會遍歷整條鏈，效率十分低下。看上去是個棘手的問題，其實改進方法很簡單。既然每棵樹表示的只是一個集合，因此樹的形態不變，只要順便把遍歷過的結點都改成樹根的兒子，下次查詢就會快很多了，如圖所示：

這樣，Kruskal演算法的完整程式碼便不難給出了。假設第i條邊的兩個端點序號和權值分別儲存在u[i],v[i]和w[i]中，而排序後第i小的邊的序號儲存在r[i]中（順便說一句，這叫做間接排序——排序的關鍵字是物件的“代號”，而不是物件本身）。

int cmp(const int i, const int j) {return w[i]<w[j]; } //間接排序函式
int find(int x ){ return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]); }//並查集的find
int Kruskal()
{
    int ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++) p[i]=i; //初始化並查集
    for(int i=0;i<m;i++) r[i]=i; //初始化邊序號
    sort(r,r+m,cmp); //給邊排序
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int e=r[i]; int x=find(u[e]); int y=find(v[e]); //找出當前邊兩個端點所在集合的編號
        if(x!=y) {ans+=w[e];p[x]=y;} //如果在不同集合，合併 -----問題①
    }
    return ans;
}
 

注意問題①部分不能寫成p[u[e]]=p[v[e]],因為u[e]和v[e]不一定是樹根（執行的find之後，才行）