並查集-按秩合併

題目：UVA-11354

題目大意：給出一張n個點m條邊的無向圖， 每條邊有一個危險度，有q個詢問， 每次給出兩個點s、t，找一條路， 使得路徑上的最大危險度最小。

思路：首先，我們可以發現，如果求一個最小生成樹， 那麼任意兩點， 在生成樹上有唯一路徑， 而且這條路徑上的最大危險值一定最小。 但是n和q都太大， 如果直接順著樹走，每次詢問最大複雜度O(n)， 那麼複雜度高達O(n^2)，會超時。 我們知道， 並查集在用了路徑壓縮之後效率高達O(n)， 但是卻破壞了樹形結構， 所以不能用路徑壓縮。 然而我們經常忽視了按秩合併這個方法， 即使不用路徑壓縮， 僅僅靠按秩合併， 複雜度也可低至O(logn)。 因此我們只需按秩合併， 然後詢問的時候向根回溯就行了， 複雜度mlogn。

注意：秩的意思就是樹的高度，按秩合併過後並查集的結構為樹形結構，

樣例：

4 5
1 2 10
1 3 20
1 4 100
2 4 30
3 4 10
2
1 4
4 1

此樣例按秩合併過後的結構如下：

可以看出來按秩合併過後，此並查集呈現出樹形的結構，並且呈遞增，所此每次訪問的肯定是從小到大的線路，因此路徑上的最大危險度肯定是最小的。。。

圖手畫的，不是很好看，還請見諒。。。。。。。

程式碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
 

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int pre[50000+10],ra[50000+10],vis[50000+10],e[50000+10];
struct node
{
    int u,v,w;
}p[100000+10];
bool cmp(node x,node y)
{
    return x.w<y.w;
}
int Find(int x)
{
    return
 
 pre[x]==x?x:Find(pre[x]);
}
void Union(int a,int b,int c)
{
    int x=Find(a);
    int y=Find(b);
    if(x==y)
        return ;
    if(ra[x]<ra[y])
    {
        pre[x]=y;
        e[x]=c;//e陣列記錄路徑上的大小
    }
    else
    {
        pre[y]=x;
        e[y]=c;
        if(ra[x]==ra[y])
            ra[x]++;//ra陣列就是記錄樹的高度，也就是所謂的秩
    }
}
int qurey(int x,int y)//查詢
{
    int ans1=0,ans2=-1;
    int cnt=x;//先從x往y查詢，
    while(true)
    {
        vis[cnt]=ans1;
        if(cnt==pre[cnt])
            break;
        ans1=max(ans1,e[cnt]);
        cnt=pre[cnt];
    }
    cnt=y;
    while(true)
    {
        if(vis[cnt]>=0)//如果剛剛x在y下面，那麼就能掃到y，這裡判斷一下是的話就可以直接返回了，
        {
            ans2=max(ans2,vis[cnt]);
            break;
        }
        if(cnt==pre[cnt])
            break;
        ans2=max(ans2,e[cnt]);
        cnt=pre[cnt];
    }
    cnt=x;
    while(true)//如果x是在y上面，那剛剛x以上的樹節點的vis值就被改變了，需要復原，以便下一次的查詢，
    {
        vis[cnt]=-1;
        if(cnt==pre[cnt])
            break;
        cnt=pre[cnt];
    }
    return ans2;
}
void init()
{
    sort(p,p+m,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        pre[i]=i;
        ra[i]=0;
        vis[i]=-1;
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        Union(p[i].u,p[i].v,p[i].w);
    }
    //cout<<"pre[4]="<<pre[4]<<"  "<<"pre[3]="<<pre[3]<<endl;
}
int main()
{
    int kase=0;
    while(cin>>n>>m)
    {
        if(kase)
            cout<<endl;
        else
            kase++;
        for(int i=0;i<m;i++)
            cin>>p[i].u>>p[i].v>>p[i].w;
        init();
        int q;
        cin>>q;
        for(int i=0;i<q;i++)
        {
            int u,v;
            cin>>u>>v;
            cout<<qurey(u,v)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}