集合可以怎麼表示？可以用一棵樹來表示，結點表示集合的元素，而樹根則用來代表這個集合。所以用樹來做集合的並查集的話，對於查詢某個元素屬於哪個集合，我們就從這個結點開始往上找，找到它所在的這棵樹的根結點。對於並集操作，只要把兩棵樹的根結點並在一起就可以了。所以為了滿足這樣的操作，我們的樹結構有點小改變，變為雙親表示法：“由孩子指向雙親。每個結點都向上指向它的父結點，而不是由父結點向下指向左右子樹。”這樣的樹比較好的是用結構體陣列來儲存表示。

集合建立好後，接下來看查詢操作：

函式把集合和要查詢的元素傳進去，然後第38行for迴圈開始查詢這個元素X在集合裡的位置，也就是陣列的下標。i=0開始，i小於MaxSize

接著到集合的並運算。並運算是指給出兩個元素的值，讓你把這兩個元素所在的集合併合在一起。這樣操作我們要這樣做：

1、首先要找到這兩個元素所在的樹的根結點（也就是找到這兩個集合）。

2、判斷這兩個元素所在的集合是不是同一個集合，如果不是就做並運算，把其中一個樹較矮的根結點指向另一個樹較高的根結點的陣列下標。

一開始先通過查詢運算找出兩個元素所在樹的根結點，也就是找到各自所在的集合。如果兩個集合不同，就比較哪個集合較高哪個集合較矮。找出較矮的哪個集合就把它的根結點的Parent換成較高樹的根結點的陣列下標，也就是讓較矮的樹指向了較高的樹。

為什麼要做這樣一個查詢操作？如果我們隨便就把兩棵樹合併在一起，會出現怎樣的一種情況？例如如果我們把一棵較高的樹指向一棵較矮的樹，那麼合併後樹的最大高度就會增加，隨著並運算的操作次數越多，樹變得越來越高，越往後那麼集合的查詢操作效率就會變得越來越低，因為查詢操作是從要查詢的結點元素開始一層一層往上找根結點，當集合樹高度很大時，要遍歷的層數就越多，效率就變得越低了。

所以為了解決這個問題，優化樹變高後查詢操作的效率，就要用到按秩歸併。我們應該把較矮的樹指向併到較高的樹上（或者把規模小的樹接到規模大的樹上），這樣較矮的樹高度增加了，但較高的樹高度沒有增加，合併後的整棵樹最大高度仍然是之前較高的樹的高度，所以合併後樹的最大高度並沒有增加。

注意我們的程式碼，因為我們在集合的資料結構中，根結點的Parent是一個負數，且數值是表示這個樹的所有結點的個數（比較高度時，數值為樹的高度），所以比較兩個集合（也就是比較兩棵樹的大小時），根結點的Parent較小的，樹更高。第62行就是說當兩棵樹一樣高時，就隨便把一棵樹併到另一棵樹上，然後合併後的樹高度加一。注意這裡的樹高度加一，在Parent上是做減減運算。

通過按秩歸併對集合的並運算做優化後，程式執行就快了。其實我們可以繼續做優化，用路徑壓縮。

首先我們看回上面的查詢函式

第39行，我們每次讀入進來要查詢的元素後，都要讓i等於0開始，也就是從陣列開頭開始線性掃描整個陣列，這樣做的一個不足之處在於，假設陣列有n個元素，我們有n個數要查詢，而假設最壞情況下每次要查詢的元素都是陣列的最後一位也就是第n個，那麼時間複雜度就會是n²。所以我們想，可以不可以把查詢函式裡的這一步線性查詢做點優化？

我們看集合的表示資料結構，裡面的資料域在陣列的每個元素裡都有一個Data來存它。但其實，任何一個有限的集合裡的元素都可以被對映為從0到n-1的整數。所以我們想，可以把元素的值直接用陣列的下標來表示。這樣就可以把集合的資料結構裡的ElementType Data去掉了，也就簡化了集合的資料結構，且這樣做的好處在於，在查詢函式裡，我們不用做線性查詢的步驟

我們把要查詢的元素X傳進來後，直接判斷S[ X ].Parent是否小於0，如果是，那就是根結點找著了。否則，就遞迴呼叫Compress函式，把S[ X ].Parent傳進去，也就是找X的父結點，往上一層繼續找根結點。直到S[ X ].Parent<0找到後，就return X。

我們用一個例子來解釋下這個函式是怎麼運作的：

例如對這樣一個集合，我們要找的根結點是最上面粉紅色的結點，在我們呼叫查詢函式後，最後我們應該返回就是這個粉紅色的結點。當我們第一次進入查詢函式後，因為最底下的F結點不是我們要找的根結點，所以直接進入查詢函式的第110行的遞迴往上找根結點

直到我們找到根結點後

就把根結點的X的返回出去，返回到上一步的return S[X].Parent=CompressFind(S, S[X].Parent);裡，對於上一個結點來說，在返回之前，會先把根結點返回來的值賦給S[ X ].Parent，也就是把根結點變成父結點。之後再做renturn，而對於這個結點來說，return出去的正是自己的父結點，也就是整個集合的根結點。所以倒數第三個結點也指向了根結點

直到最後把根結點返回給了最初的F結點

這就是路徑壓縮，不僅在查詢操作中找到了集合的根結點，同時把集合的路徑壓縮，這裡的路徑壓縮指把每次掃過的結點都接上根結點上。這樣做的好處在於，在做多次查詢操作時，因為路徑壓縮了，所以會省去很多的時間。