為什麼負梯度方向是函式下降最快的方向

阿新 • • 發佈：2018-12-13

推導

$f (\vec {x})$ 是target function， $\vec {x}_0$ 是start point。在 $\vec {x}_0$ 處做寫出一階泰勒展式： $f (\vec {x})=f (\vec {x}_0)+\nabla f (\vec {x}_0) \cdot (\vec {x}-\vec {x}_0)+O (\lVert \vec {x}-\vec {x}_0 \rVert^2)$ 當 $\lVert \vec {x}-\vec {x}_0 \rVert^2$

∥ x - x_{0} ∥^{2}

足夠小時，有

f (\vec {x}_0)-f (\vec {x})=-\nabla f (\vec {x}_0) \cdot (\vec {x}-\vec {x}_0)

等式右邊是

-\nabla f (\vec {x}_0)

和

(\vec {x}-\vec {x}_0)

的內積，我們知道當這兩個向量同向時，內積最大，此時函式值下降的最多，於是可以得出結論：負梯度方向是函式下降最快的方向。

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