§8.7  方向導數與梯度

一、方向導數

1、定義

設函式在點的某一鄰域內有定義,自點引射線,設軸正向到射線的轉角為,為鄰域內且在上的另一點。

若比值

這裡,當沿著趨向於時的極限存在,稱此極限值為函式在點沿方向的方向導數,記作。

即    

2、方向導數的存在性條件(充分條件)及計算

【定理】若在點可微分, 則函式在該點沿著任一方向的方向導數都存在, 且有

其中為軸正向到方向的轉角。

【證明】據在點可微分,有

【例1】求函式在點處沿從點到點的方向的方向導數。

解:軸到方向的轉角為，而

在點處，有

故  

注:方向導數的概念及計算公式,可方便地推廣到三元函式。

二、梯度

1、定義

設函式在平面區域內具有一階連續偏導數,那麼對於任一點,都可以定義向量

並稱此向量為函式在點的梯度,記作。

即  

2、方向導數與梯度的關係

設是方向上的單位向量,則

當方向與梯度方向一致時,,從而達到最大值；也就是說, 沿梯度方向的方向導數達到最大值。

另一方面,  

這表明:函式在點增長最快的方向與方向導數達到最大的方向(梯度方向)是一致的。

3、等高線及其它

二元函式在幾何上表示一個曲面,該曲面被平面所截得的曲線的方程為

此曲線在面上的投影是一條平面曲線,它們在平面上的方程為。

對於曲線上的一切點, 函式的值都是, 所以,我們稱平面曲線為函式的等高線。

【例2】曲面的等高線為

這些等高線為同心圓。

【例3】作拋物線在面上的等高線。

執行matlab程式gs0801.m。

§8.8  多元函式極值及其求法

一、多元函式的極值

1、多元函式極值定義

設函式在點的某個鄰域內有定義,對該鄰域內異於的點,如果都適合不等式

則稱函式在點取極大值；

如果都適合不等式

則稱函式在點取極小值。

極大值與極小值統稱為函式的極值；使函式取得極值的點稱為極值點。

注:二元函式的極值是一個區域性概念,這一概念很容易推廣至元函式。

【例1】討論下述函式在原點是否取得極值。

(1)、

(2)、

(3)、

解:由它們的幾何圖形可知:

是開口向上的旋轉拋物面,在取得極小值；

是馬鞍面, 在不取得極值。

2、函式取得極值的必要條件

【定理一】設函式在點具有偏導數且取得極值,則它在該點的偏導數必為零,即

【證明】不妨設在點處有極大值。

依極值定義,點的某一鄰域內的一切點適合不等式

特殊地,在該鄰域內取,而的點,也應有不等式

這表明:一元函式在 處取得極大值,因而必有

同理可證

【注一】當時, 曲面在點處有切平面

此切平面平行於水平面面。

例如,在點取得極小值, 它在點處,

其切平面為 

即         

此切平面就是(面)。

使同時成立的點,稱為函式的駐點。

【注二】定理一表明,可(偏)導函式的極值點必為駐點,反過來,函式的駐點卻不一定是極值點。例如,在點不取得極值,但卻是駐點。這告訴我們,駐點僅僅是函式可疑的極值點,要判斷它是否真為極值點,需要另作判定。

【注三】偏導數或不存在的點也是函式的可疑極值點。

例如,在點有極大值,但

 不存在。

當然,也不存在。

當然,定理一的結論也可推廣至元函式。

3、函式取得極值的充分條件

【定理二】設函式在點的某鄰域內連續,且有一階及二階連續的偏導數,又  ,記

 ,  , 

則函式在處是否取得極值的條件如下

(1)、時具有極值,且當時有極大值,

 當時有極小值；

(2)、時沒有極值；

(3)、時可能有極值,也可能沒有極值,需另作判定。

對這一定理不作證明,僅介紹它的記憶之法:

【例2】求函式的極值。

解:函式具有二階連續偏導數, 故可疑的極值點只可能為駐點,

先解方程組

求出全部駐點為 

再求二階偏導數

在點處,

函式取得極小值 ；

在點處,

函式不取得極值；

在點處,

函式不取得極值；

在點處,

函式取得極大值  。

二、多元函式的最值

1、有界閉區域上連續函式的最值確定

如果二元函式在有界閉區域上連續,則在上必定取得最值。使函式取得最值的點既可能在的內部,也可能在的邊界上。

若函式在的內部取得最值,那未這個最值也是函式的極值。而函式取得極值的點使的駐點或使、不存在的點。

若函式在的邊界上取得最值,可根據的邊界方程,將化成定義在某個閉區間上的一元函式,進而利用一元函式求最值的方法求出最值。

綜合上述討論,有界閉區域上的連續函式最值求法如下:

(1)、求出在的內部,使,同時為零的點及使或不存在的點；

(2)、計算出在的內部的所有可疑極值點處的函式值；

(3)、求出在的邊界上的最值；

(4)、比較上述函式值的大小,最大者便是函式在上的最大值；最小者便是函式在上的最小值。

【例3】求二元函式在矩形區域

上的最值。

解: 

得駐點,且

在邊界 上,,

 且 

在邊界上,   , 則

在邊界 上, , 則 ,

則  ；

在邊界上,  , 因

, 故單調增加, 從而 。

比較上述討論, 有

 為最大值,

 為最小值。

2、開區域上函式的最值確定

求函式在開區域上的最值十分複雜。

但是,當所遇到的實際問題, 據問題的性質可斷定函式的最值一定在上取得,而函式在上又只有一個駐點, 那麼就可以肯定該駐點處的函式值就是函式在上的最值。

【例4】某廠要用鐵板做成一個體積為立方米的有蓋長方體水箱, 當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能用料最省?

令  

解方程組得唯一駐點 ,

據問題的實際背景, 水箱所用材料面積的最小值一定存在, 並在開區域內取得,又函式在內只有唯一的駐點, 因此, 可斷定當 時, 取得最小值。

這表明: 當水箱的長、寬、高分別為米時, 所用材料最省, 此時的最小表面積為。

三、條件極值與拉格朗日乘數法

前面所討論的極值問題,對於函式的自變數,除了限制它在定義域內之外,再無其它的約束條件,因此,我們稱這類極值為無條件極值。

但是,在實際問題中,有時會遇到對函式的自變數還有附加限制條件的極值問題。

例如: 求體積為2而表面積最小的長方體尺寸。

若設長方體的長寬高分別為,則其表面積為

這裡除了外,還需滿足限制條件 。

象這類自變數有附加條件的極值稱為條件極值。

有些實際問題,可將條件極值化為無條件極值,如上例；但對一些複雜的問題，條件極值很難化為無條件極值。因此,我們有必要探討求條件極值的一般方法。

1、函式取得條件極值的必要條件

欲尋求函式                                     (1)

在限制條件                                         (2)

下的取得條件極值的條件。

函式若是在處取得條件極值,那麼它必滿足方程(2),即

                                  (3)

另外,方程(2)可確定一個隱函式,將之代入(1)有

                                 (4)

這樣,函式(1)在取得條件極值,也就相當於函式(4)在處取得無條件極值。

據一元函式取得極值的必要條件有

             (5)

由(2)式有

代入到第(5)式有

                   (6)

由上面的討論可知,(3)與(6)便是函式在點取得條件極值的必要條件,只是這一式子的形式不夠工整,不便於記憶,為此,我們作適當的變形。

令  ，有

這三個式子恰好是函式

的三個偏導數在點的值。

2、拉格朗日乘數法

要求函式在限制條件下的可能極值點,可先作拉氏函式

再解方程組

求出點,這樣求出的點就是可疑條件極值點。

【註記】拉氏乘數法可推廣到一般元函式或限制條件多於一個的情形:

例如:求    在限制條件

下的極值。

作拉氏函式

解方程組

這樣求出就是可疑極值點的座標。

from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/