§7.4  數量積 向量積 混合積

一 兩向量的數量積

1 向量的數量積定義

設物體在常力的作用下沿直線從點移到點，用表示位移向量，力在位移方向上的分力大小為，力所作的功為：

拋開這一問題的物理背景，我們可以給出一般地向量的數量積定義：

設 是兩向量，且它們之間的夾角為，稱數量 為向量 的數量積，並記作 ，即

註明：記號又可稱之為“ 點乘 ”。

據此定義，上例所求的功實際上是力與位移的數量積，即

。

因是在向量方向上的投影，若用來記這個投影，便有：

類似有：

這表明： 兩向量的數量積等於其中一向量的模與另一向量在該向量方向上的投影的乘積。

這一事實的力學意義是十分鮮明的。

2、數量積的性質

(1)、

事實上，與的夾角， 故

(2)、設，為非零向量，若，那麼與垂直( 記作 )；反之，若，那麼。

證明： 

(3)、(交換律)

事實上，

(4)、(分配律)

事實上，  

(5)、(數乘向量的結合律) 

證明： 設向量與之間的夾角為，

若 ，與同方向，故與 的夾角仍為 ，於是

若 ， 與反方向， 故與 的夾角仍為， 於是

若 ，

綜合上述三點，有    成立。

類似地可證明  。

(6)、兩向量數量積的座標表示形式

設  ，則有

證明：

註明:基本單位向量有 

利用向量數量積的計算公式，很容易地得到了下列向量模計算公式

(7)、兩向量間夾角餘弦的座標表示式

若  ，，由 ，有

並且有

【例1】已知三點， 和，求向量與之間的夾角。

解：

而  

故  

【例2】設液體流過平面上面積為的一個區域，液體在該區域上各點處的流速均為常向量，設為垂直於的單位向量，計算單位時間內經過該區域流向所指向一側的液體重量 ( 設液體的比重為 )。

解：單位時間內流過區域的液體形成一個底面積為，斜高為的斜柱體， 且斜高與底面垂線的夾角即為向量與之間的夾角。

所以，該斜柱體的高為，即在方向上的投影。

斜柱體的體積為 

從而，單位時間內經過區域流向所指一方的液體重量為

很明顯，若，即垂直於平面時，

這與我們直觀的理解是一致的。

2、向量的數量積不具有結合律

一般情況下，，因此，寫法是無意義的。

【反例】取  ， ， 

二 兩向量的向量積

1、由力矩問題引入向量的向量積

設為一根槓桿的支點，有一個力作用於這槓桿上的點處，與的夾角為，由力學知識可知，力對支點的力矩是一個向量，它的模為  

而方向垂直於與所決定的平面，其指向依右手規則來決定，即當右手的四個手指從以不超過的轉角轉向握拳時，大拇指的指向就是力矩的指向。

這類物理問題所反映出的數學運算便是我們要定義的向量間的向量積。

【定義】設向量由向量與依下列方式定出：

的模為， 其中為向量與之間的夾角；

的方向垂直於與所決定的平面，的指向按右手規則從轉向(轉角小於)來決定。

那麼稱向量為向量與的向量積，記作，即 。

向量的向量積又常稱作向量的叉乘，也常唸作“ 叉乘”。

因此，上面的力矩等於與力的向量積，即。

2、向量積的性質

(1)、

(2)、對於非零向量與，與平行( 即)的充要條件是。

(3)、設，為兩個非零向量，模 在幾何上表示以 與 為邊的平行四邊形的面積。

(5)、分配律 

(6)、設，為實數，則 

(7)、向量積的座標表示式

設 ，，則有

於是，有

為了便於記憶，我們引入形式化的三階行列式的記法。

由向量的向量積座標表示式，可給出兩向量平行的充要條件的又一形式：

這一向量平行的對稱式條件，當分母有為零的元素時，應依如下規則來理解它的意義：

(1)、當中僅有一個為零時，如 

則(1)式成為  

因此， 此時(2)式的意義應理解為

(2)、當中僅有二個為零時，如 

則(1)式成為 

因此，此時(2)式的意義應理解為

(3)、當  時

則(1)式對於任意實數 均成立

因此，此時(2)式的意義為

 可取任意實數。

【例3】已知三角形的頂點是，和，求此三角形的面積。

解：

而  

三 向量的混合積

1、平行六面體的體積

如圖所示，以， 和 為稜的平行六面體的體積，

應為其底面積乘以高。

底面積為 ，由於高垂直於底面，它可以看作向量在垂直於底面的向量上的投影 ，體積值為

2、向量混合積定義

設有三個向量，與，先作，將向量與作數量積，這樣得到的數量稱作三向量，，的混合積，並記作。

於是，平行六面體的體積為 

3、向量混合積的計算

設，，，則

利用向量混合積的幾何意義，我們可以得到一個十分有用的結論：

空間三向量，與共面的充要條件是 。

§7.5  曲面及其方程

一 曲面方程的概念

空間曲面可看做點的軌跡，而點的軌跡可由點的座標所滿足的方程來表達。因此，空間曲面可由方程來表示，反過來也成立。

為此，我們給出如下定義：

若曲面與三元方程

                                      (1)

有下述關係：

1、曲面上任一點的座標均滿足方程(1)；

2、不在曲面上的點的座標都不滿足方程(1)。

那麼，方程(1)稱作曲面的方程，而曲面稱作方程(1)的圖形。

下面，我們來建立幾個常見的曲面方程。

【例1】 球心在點，半徑為的球面方程。

解：設是球面上的任一點，那麼，

即：  

                (2)

(2)式就是球面上任一點的座標所滿足的方程。

反過來，不在球面上的點，到的距離， 從而點的座標不適合於方程(2)。

故方程(2)就是以為球心，為半徑的球面方程。

若球心在原點，即，其球面方程為

【例2】設有點和，求線段垂直平分面的方程。

解：所求平面是與和等距離的點的幾何軌跡，設是所求平面上任意的一點，則

即： 

化簡得  

這便是平面的方程。

上述兩例