§11.5  函式展開成冪級數

一、泰勒級數

如果在處具有任意階的導數，我們把級數

    (1)

稱之為函式在處的泰勒級數。

它的前項部分和用記之，且

這裡：

由上冊中介紹的泰勒中值定理，有

當然，這裡是拉格朗日餘項，且

。

由有

。

因此，當時，函式的泰勒級數

就是它的另一種精確的表示式。即

這時，我們稱函式在處可展開成泰勒級數。

特別地，當時，

這時，我們稱函式可展開成麥克勞林級數。

將函式在處展開成泰勒級數，可通過變數替換，化歸為函式  在  處的麥克勞林展開。因此，我們著重討論函式的麥克勞林展開。

【命題】函式的麥克勞林展開式是唯一的。

證明：設在的某鄰域內可展開成的冪級數

據冪級數在收斂區間內可逐項求導，有

把代入上式，有

從而  

於是，函式在處的冪級數展開式其形式為

這就是函式的麥克勞林展開式。

這表明，函式在處的冪級數展開形式只有麥克勞林展開式這一種形式。

二、函式展開成冪級數

1、直接展開法

將函式展開成麥克勞林級數可按如下幾步進行

Œ求出函式的各階導數及函式值

若函式的某階導數不存在，則函式不能展開；

寫出麥克勞林級數

並求其收斂半徑。

Ž考察當時，拉格朗日餘項

當時，是否趨向於零。

若，則第二步寫出的級數就是函式的麥克勞林展開式；

若，則函式無法展開成麥克勞林級數。

【例1】將函式展開成麥克勞林級數。

解：

於是得麥克勞林級數  

而  

故  

對於任意 ，有

這裡是與無關的有限數， 考慮輔助冪級數

的斂散性。 由比值法有

故輔助級數收斂，從而一般項趨向於零，即  

因此  ，故

【例2】將函式在處展開成冪級數。

解：

於是得冪級數  

容易求出，它的收斂半徑為 

對任意的，有

由例一可知，，故 

因此，我們得到展開式

2、間接展開法

利用一些已知的函式展開式以及冪級數的運算性質( 如：加減，逐項求導，逐項求積)將所給函式展開。

【例3】將函式展開成的冪級數。

解：對展開式

兩邊關於逐項求導， 得

【例4】將函式展開成的冪級數。

解：

而  

將上式從到逐項積分得

當時，交錯級數

收斂。

故 

下面，我們介紹十分重要牛頓二項展開式

【例5】將函式展開成的冪級數，其中為任意實數。

解：

於是得到冪級數

因此，對任意實數，冪級數在內收斂。

下面，我們證明，該冪級數收斂的和函式就是函式。

設上述冪級數在內的和函式為，即

 

兩邊同乘以因子，有

即  

引入輔助函式

 

因此，在內，我們有展開式

註記

¶在區間端點處的斂散性，要看實數的取值而定，這裡，我們不作進一步地介紹。

·若引入廣義組合記號 ，牛頓二項展開式可簡記成

最後，我們舉一個將函式展開成的冪級數形式的例子。

【例6】將函式展開成的冪級數。

解：作變數替換，則 ，有

而  

於是 

 

§11.6  函式的冪級數展開式的應用

一、近似計算

利用函式的冪級數展開式，可以進行近似計算。

1、一些近似計算中的術語

Œ誤差不超過

設為精值，而為近似值，則表示與之間的絕對誤差。

誤差不超過(  ) 意指：

近似值與精值之差，在小數點後的位是完全一樣的，僅在小數點後的第位相差不超過一個單位。

例如：，

有時，也將誤差不超過說成：精確到小數點後位。

截斷誤差(或方法誤差)

函式用泰勒多項式

來近似代替，則該數值計算方法的截斷誤差是

¸舍入誤差

用計算機作數值計算，由於計算機的字長有限，原始資料在計算機上表示會產生誤差，用這些近似表示的資料作計算，又可能造成新的誤差，這種誤差稱為舍入誤差。

例如，用3.14159 近似代替 p，產生的誤差

d =p - 3.14159 = 0.0000026L

就是舍入誤差。

2、根式計算

【例1】計算的近似值( 精確到小數四位)。

求根式的近似值，要選取一個函式的冪級數展開式,可選牛頓二項展開式

 

要利用此式，需要將表示成的形式，通常當較小時，計算效果會較好。

這裡，可取，。

 

 

解：利用二項展開式，有

如果我們擷取前四項來作計算， 則

@

由於的係數是單調遞減的，其截斷誤差可如下估計

@

註明：

Ê表示式也可選其它形式，如

；

Ë在數列的極限理論學習中，我們已形究過數列

，它單調下降，下界為，且

利用此迭代算式,編寫Matlab程式gs1101.m,執行此程式，更容易獲得的高精度近似值。

3、對數的計算

【例2】計算的近似值(精確到小數後第4位)。

解：我們已有展開式

且 

利用此數項級數來計算的近似值，理論上來說是可行的。其部分和的截斷誤差為

欲使精度達到，需要的項數應滿足，即

，亦即，應要取到10000項，這實在是太大了。

執行Matlab程式gs1102.m,取級數前一萬項(n=10000)來作近似計算，可獲得下表。並仔細觀察項數與所求近似值對照表與計算速度。

擷取項數	ln2近似值
9900	0.6930971330
9991	0.6931972231
9992	0.6930971430
9993	0.6931972131
9994	0.6930971530
9995	0.6931972031
9996	0.6930971631
9997	0.6931971931
9998	0.6930971731
9999	0.6931971831
10000	0.6930971831

由上述程式的執行與結果，有幾點感受

Ê部分和的項數取得太大，達到了一萬；

Ë其近似值僅有小數點後三位是精確的；

Ì項數增加幾十項，並未提供多少有效位數字；

Í計算花費了太多的時間。

這迫使我們去尋找計算ln2更有效的方法。

將展開式

中的換成，得

兩式相減，得到不含有偶次冪的展開式

令，解出。以代入得

再對此數項級數程式設計Matlab下的計算程式gs1103.m，執行該程式可獲得項數與所求近似值對照表如下

擷取項數	ln2近似值
4	0.69313475733229
5	0.69314604739083
6	0.69314707375979
7	0.69314717025601
8	0.69314717954824
9	0.69314718045924
10	0.69314718054981
11	0.69314718055892
12	0.69314718055984
13	0.69314718055993
14	0.69314718055994
15	0.69314718055994
16	0.69314718055995
17	0.69314718055995
18	0.69314718055995

由表可發現，計算速度大大提高，近似值的精度有十分顯著的改進，這種處理手段通常稱作冪級數收斂的加速技術。

4、p 的計算

在小學數學學習中，我們就已接觸到了圓周率p，可對它的計算卻從未真正做過。現在是我們了卻這一夙願的時候了。

由展開式

兩邊積分，有

令，則，於是有

利用此式可以進行計算，效果(速度與精度)也不錯，只是需要的值。藉助三角公式，作適當地變形，可構造出不需要計算表示式。

令 ，有

據上式，編寫Matlab程式gs1104.m,執行它可獲得如下結果。

擷取項數	p近似值
10	3.141592579606
11	3.141592670451
12	3.141592649717
13	3.141592654485
14	3.141592653382
15	3.141592653638
16	3.141592653578
17	3.141592653592
18	3.141592653589
19	3.141592653590
20	3.141592653590

5、定積分的近似計算

【例3】計算定積分

的近似值，精確到0.0001。

解：因，所給積分不是廣義積分，只需定義函式在處的值為1，則它在上便連續了。

展開被積函式，有

在區間上逐項積分，得

因為第四項

所以可取前三項的和作為積分的近似值

對上述級數展開式，我們編寫了Matlab程式gs1105.m,執行此程式，可給出擷取級數任意項時，此定積分含有更多位有效數值的近似值。

擷取項數	定積分的近似值
1	1.00000000000000
2	0.94444444444444
3	0.94611111111111
4	0.94608276643991
5	0.94608307263235
6	0.94608307035488
7	0.94608307036723
8	0.94608307036718
9	0.94608307036718
10	0.94608307036718

 二、尤拉公式

設有複數項級數為

              (1)

其中為實常數或實函式。如果實部所成的級數

                                     (2)

收斂於和，並且虛部所成的級數

                                     (3)

收斂於和，就說級數(1)收斂且其和為。

如果級數(1)各項的模所構成的級數

                    (4)

收斂，由於

則級數(2)、(3)絕對收斂，從而級數(1)收斂，這時就說級數(1)絕對收斂。

考察複數項級數

           (5)

它的模所形成的級數

絕對收斂。因此，級數(5)在整個複平面上是絕對收斂的。

在軸上()，它表示指數函式，在整個複平面上我們用它來定義復變數指數函式，記作