BZOJ5020: [THUWC 2017]在美妙的數學王國中暢遊(LCT,泰勒展開,二項式定理)
阿新 • • 發佈：2018-12-13
Description
數字和數學規律主宰著這個世界。 機器的運轉， 生命的消長， 宇宙的程序， 這些神祕而又美妙的過程無不可以用數學的語言展現出來。 這印證了一句古老的名言： “學好數理化，走遍天下都不怕。” 學渣小R被大學的數學課程虐得生活不能自理，微積分的成績曾是他在教室裡上的課的最低分。然而他的某位陳姓室友卻能輕鬆地在數學考試中得到滿分。為了提升自己的數學課成績，有一天晚上（在他睡覺的時候），他來到了數學王國。
Input
第一行兩個正整數 n,m 和一個字串 type 。 表示數學王國中共有 n 座城市，發生了 m 個事件，該資料的型別為 type 。 typet 字串是為了能讓大家更方便地獲得部分分，你可能不需要用到這個輸入。 其具體含義在【資料範圍與提示】中有解釋。 接下來 n 行，第 i 行表示初始情況下編號為 i 的城市的魔法球中的函式。 一個魔法用一個整數 f表示函式的型別，兩個實數 a,b 表示函式的引數，若 f=1,則函式為 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π]) f=2,則函式為 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0]) f=3,則函式為 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]) 接下來 m行，每行描述一個事件，事件分為四類。 appear u v 表示數學王國中出現了一條連線 u 和 v 這兩座城市的魔法橋 (0≤u,v<n,u≠v) ，保證連線前 u和 v 這兩座城市不能互相到達。 disappear u v 表示數學王國中連線 u 和 v 這兩座城市的魔法橋消失了，保證這座魔法橋是存在的。 magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法變成了型別為 f ，引數為 a,b 的函式 travel u v x 表示詢問一個智商為 x 的人從城市 u 旅行到城市 v （即經過 u到 v 這條路徑上的所有城市，包括 u 和 v ）後，他得分的總和是多少。 若無法從 u 到達 v ，則輸出一行一個字串 unreachable。 1≤n≤100000,1≤m≤200000
Output
對於每個詢問，輸出一行實數，表示得分的總和。
Sample Input
3 7 C11 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5
Sample Output
9.45520207e-0011.67942554e+000
1.20000000e+000
解題思路：
題目描述如此毒瘤。
從操作3得到的啟發，將多項式展開對應項相加。
這道題可以將sin(ax+b),eax+b泰勒展開。
精度的話16位肯定夠。剩下的就是裸的LCT了。
聽黴黴的歌寫泰勒展開不容易錯
程式碼：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define lll tr[spc].ch[0] 5 #define rrr tr[spc].ch[1] 6 #define ls ch[0] 7 #define rs ch[1] 8 const int N=100010; 9 const int oo=16; 10 struct trnt{ 11 int ch[2]; 12 int fa; 13 int lzt; 14 int type; 15 bool anc; 16 double a,b; 17 double C[oo]; 18 double f[oo]; 19 double val(double x) 20 { 21 double ans=f[0]; 22 double t=x; 23 for(int i=1;i<oo;i++,t*=x) 24 ans+=f[i]*t; 25 return ans; 26 } 27 void Insert(void) 28 { 29 scanf("%d",&type); 30 scanf("%lf%lf",&a,&b); 31 return ; 32 } 33 void Taylor(double *fac) 34 { 35 double at[oo],bt[oo]; 36 for(int i=0;i<oo;i++) 37 C[i]=at[i]=bt[i]=0; 38 at[0]=1; 39 bt[0]=1; 40 for(int i=1;i<oo;i++) 41 at[i]=at[i-1]*a,bt[i]=bt[i-1]*b; 42 if(type==1) 43 {//sin(ax+b) 44 double tmp=1; 45 for(int i=1;i<oo;i+=2) 46 { 47 for(int j=0;j<=i;j++) 48 C[j]+=tmp*at[j]*bt[i-j]/fac[j]/fac[i-j]; 49 tmp*=-1.00; 50 } 51 return ; 52 } 53 if(type==2) 54 {//e^(ax+b) 55 for(int i=0;i<oo;i++) 56 { 57 for(int j=0;j<=i;j++) 58 C[j]+=fac[i]/fac[j]/fac[i-j]*at[j]*bt[i-j]/fac[i]; 59 } 60 return ; 61 } 62 if(type==3) 63 { 64 C[0]=b; 65 C[1]=a; 66 return ; 67 } 68 } 69 }tr[N]; 70 int n,m; 71 double fac[50]; 72 char tmp[10000]; 73 bool whc(int spc) 74 { 75 return tr[tr[spc].fa].rs==spc; 76 } 77 void pushup(int spc) 78 { 79 for(int i=0;i<oo;i++) 80 tr[spc].f[i]=tr[spc].C[i]; 81 if(lll) 82 for(int i=0;i<oo;i++) 83 tr[spc].f[i]+=tr[lll].f[i]; 84 if(rrr) 85 for(int i=0;i<oo;i++) 86 tr[spc].f[i]+=tr[rrr].f[i]; 87 return ; 88 } 89 void trr(int spc) 90 { 91 if(!spc) 92 return ; 93 std::swap(lll,rrr); 94 tr[spc].lzt^=1; 95 return ; 96 } 97 void pushdown(int spc) 98 { 99 if(tr[spc].lzt) 100 { 101 trr(lll); 102 trr(rrr); 103 tr[spc].lzt=0; 104 } 105 return ; 106 } 107 void recal(int spc) 108 { 109 if(!tr[spc].anc) 110 recal(tr[spc].fa); 111 pushdown(spc); 112 return ; 113 } 114 void rotate(int spc) 115 { 116 int f=tr[spc].fa; 117 bool k=whc(spc); 118 tr[f].ch[k]=tr[spc].ch[!k]; 119 tr[spc].ch[!k]=f; 120 if(tr[f].anc) 121 { 122 tr[f].anc=0; 123 tr[spc].anc=1; 124 }else 125 tr[tr[f].fa].ch[whc(f)]=spc; 126 tr[spc].fa=tr[f].fa; 127 tr[f].fa=spc; 128 tr[tr[f].ch[k]].fa=f; 129 pushup(f); 130 pushup(spc); 131 return ; 132 } 133 void splay(int spc) 134 { 135 recal(spc); 136 while(!tr[spc].anc) 137 { 138 int f=tr[spc].fa; 139 if(tr[f].anc) 140 { 141 rotate(spc); 142 return ; 143 } 144 if(whc(spc)^whc(f)) 145 rotate(spc); 146 else 147 rotate(f); 148 rotate(spc); 149 } 150 return ; 151 } 152 void access(int spc) 153 { 154 int lst=0; 155 while(spc) 156 { 157 splay(spc); 158 tr[rrr].anc=1; 159 tr[lst].anc=0; 160 rrr=lst; 161 lst=spc; 162 pushup(spc); 163 spc=tr[spc].fa; 164 } 165 return ; 166 } 167 void Mtr(int spc) 168 { 169 access(spc); 170 splay(spc); 171 trr(spc); 172 return ; 173 } 174 void split(int x,int y) 175 { 176 Mtr(x); 177 access(y); 178 splay(y); 179 return ; 180 } 181 void link(int x,int y) 182 { 183 Mtr(x); 184 tr[x].fa=y; 185 return ; 186 } 187 bool together(int x,int y) 188 { 189 split(x,y); 190 while(tr[y].ls) 191 y=tr[y].ls; 192 return x==y; 193 } 194 void cut(int x,int y) 195 { 196 split(x,y); 197 tr[x].fa=0; 198 tr[x].anc=true; 199 tr[y].ls=0; 200 pushup(y); 201 return ; 202 } 203 int main() 204 { 205 scanf("%d%d",&n,&m); 206 scanf("%s",tmp); 207 fac[0]=1; 208 for(int i=1;i<oo;i++) 209 { 210 double x=i; 211 fac[i]=fac[i-1]*x; 212 } 213 for(int i=1;i<=n;i++) 214 { 215 tr[i].Insert(); 216 tr[i].Taylor(fac); 217 tr[i].anc=1; 218 } 219 while(m--) 220 { 221 scanf("%s",tmp+1); 222 if(tmp[1]=='a') 223 { 224 int a,b; 225 scanf("%d%d",&a,&b); 226 a++,b++; 227 link(a,b); 228 }else if(tmp[1]=='d') 229 { 230 int a,b; 231 scanf("%d%d",&a,&b); 232 a++,b++; 233 cut(a,b); 234 }else if(tmp[1]=='m') 235 { 236 int x; 237 scanf("%d",&x); 238 x++; 239 splay(x); 240 tr[x].Insert(); 241 tr[x].Taylor(fac); 242 }else{ 243 int a,b; 244 scanf("%d%d",&a,&b); 245 double x; 246 scanf("%lf",&x); 247 a++,b++; 248 if(!together(a,b)) 249 puts("unreachable"); 250 else{ 251 double ret=tr[b].val(x); 252 printf("%.8e\n",ret); 253 } 254 } 255 } 256 return 0; 257 }