裴禮文數學分析中的典型問題與方法第3章一元微分學練習
參考解答見: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html
3.1.1 計算下列函數的指定導數: (1) $\dps{f(x)=\sqrt{\f{(1+x)\sqrt{x}}{\e^{x-1}}}+\arcsin\f{1-x}{\sqrt{1+x^2}} }$, 求 $f‘(1)$. (中國人民大學) (2) $\dps{f(x)=x^{\sin (\sin x^x)}\ (x>0)}$, 求 $\dps{\f{\rd y}{\rd x}}$. (復旦大學) (3) $\dps{f(x)=\seddm{ \cos x,&x<0,\\ \ln(1+x^2),&x\geq 0. }}$ 求 $f‘(x)$. (華東師範大學) (4)
3.1.2 討論 $$\bex f(x)=\seddm{ \f{1}{x}-\f{1}{\e^x-1},&x\neq 0,\\ \f{1}{2},&x=0 } \eex$$ 在 $x=0$ 處的連續性與可微性. (東北大學)
3.1.3 設 $$\bex f(x)=\seddm{ x^2\sin \f{\pi}{x},&x<0,\\ A,&x=0,\\ ax^2+b,&x>0, } \eex$$ 其中 $A,a,b$ 為常數, 試問 $A,a,b$ 為何值時 $f(x)$ 在 $x=0$ 處可導, 為什麽? 並求 $f‘(0)$. (鄭州工業大學)
3.1.4 設 $f(x)$ 在 $x=0$ 處可導, $f(0)\neq 0$, $f‘(0)\neq 0$, $$\bex af(h)+bf(2h)-f(0)=o(h), \sex{\mbox{當 }h\to 0\mbox{ 時}}, \eex$$ 求 $a,b$. (數學一)
3.1.5 設函數 $f(x)$ 在閉區間 $[0,1]$ 上四次連續可微, $f‘(0)=0$. 證明: 函數 $$\hj{ F(x)=\seddm{ \f{f(x)}{x^2},&0<x\leq 1,\\ \f{f‘‘(0)}{2},&x=0 } }$$ 在 $[0,1]$ 上二次連續可微. (吉林大學)
3.1.6 設函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上滿足 $$\bex |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\al,\ \forall\ x,y\in [a,b], \eex$$ 其中 $M>0$, $\al>1$ 為常數, 證明: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒為常數.
3.1.7 設 $f(0)=0$, 則 $f(x)$ 在點 $x=0$ 處可導的充要條件為 $\dps{\vlmc{h}{0}\f{f(1-\e^h)}{h}}$ 存在. (數學一) \zj{ 不妨嘗試對該題作一個小小的推廣: 設 $x=g(h)$ 為: 具有反函數 $g^{-1}$, 且使得 $\dps{\vlmc{x}{0}\f{x}{g^{-1}(x)}}$ 存在的某一函數 (例如 $x=1-\e^h$), 那麽任一函數 $f(x)$, 若 $f(0)=0$, 則 $f$ 在 $x=0$ 可導的充要條件是 $\dps{\vlmc{h}{0}\f{f(g(h))}{h}}$ 存在. }
3.1.8 設 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某鄰域內有定義. (1) 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 處可導, 試證: $$\bex \vlmc{h}{0}\f{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f‘(x_0); \eex$$ (2) 反之, 若上式左端之極限存在, 是否能推出 $f‘(x_0)$ 存在? 若結論成立, 請證明, 不成立給出反例. (哈爾濱工業大學)
3.1.9 在什麽條件下, 函數 $$\bex f(x)=\seddm{ x^n\sin\f{1}{x},&x\neq 0,\\ 0,&x=0 } \sex{n\mbox{ 為自然數}} \eex$$ (1) 在點 $x=0$ 處連續; (2) 在點 $x=0$ 處可導; (3) 在點 $x=0$ 處導函數連續. (中國科學院)
3.1.10 試作一函數在 $(-\infty,+\infty)$ 內二階可微, 使得 $f‘‘(x)$ 在 $x=0$ 處不連續, 其余處處連續.
3.1.11 對於函數 $f(x)=|\sin x|^3,\ x\in (-1,1)$. (1) 證明: $f‘‘‘(0)$ 不存在; (2) 說明點 $x=0$ 是不是 $f‘‘‘(x)$ 的可去間斷點.
3.1.12 設函數 $f(x)$ 在點 $a$ 處連續, 且 $|f(x)|$ 在 $a$ 處可導, 證明: $f(x)$ 在 $a$ 處也可導. (長沙鐵道學院)
3.1.13 函數 $f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|$ 不可導點的個數是多少? (數學一)
3.1.14 設 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 處連續, 分別討論下面函數在 $x=a$ 處是否可導. (1) $f(x)=(x-a)\varphi(x)$; (2) $f(x)=|x-a|\varphi(x)$; (3) $f(x)=(x-a)|\varphi(x)|$. (武漢水利電力大學)
3.1.15 設 $f(x)$ 可導, $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 則 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 處可導的充要條件. (數學一)
3.1.16 求 $f(x)=[x]\sin \pi x$ 的單側導數, 並討論可微性. ($[x]$ 表示不超過 $x$ 的最大整數)
3.1.17 證明: 函數 $$\bex f(x)=\seddm{ x^2\sev{\cos\f{\pi}{x}},&x\neq 0,\\ 0,&x=0 } \eex$$ 在 $x=0$ 的任何鄰域內有不可微的點, 但在 $x=0$ 點可微.
3.1.18 證明: 切比雪夫 (Tschebyscheff) 多項式 $$\bex T_m(x)=\f{1}{2^{m-1}}\cos(m\arccos x),\ m=0,1,2,\cdots \eex$$ 滿足方程 $$\bex (1-x^2)T_m‘‘(x)-xT_m‘(x)+m^2T_m(x)=0. \eex$$
3.1.19 證明: 切比雪夫-拉蓋爾 (Tschebyscheff-Laguerre) 多項式 $$\bex L_m(x)=\e^x (x^m\e^{-x})^{(m)}, m=0,1,2,\cdots \eex$$ 滿足方程 $$\bex xL_m‘‘(x)+(1-x)L_m‘(x)+mL_m(x)=0. \eex$$
3.1.20 設 $$\hj{ f(x)=\sevm{ u_{11}(x)&u_{12}(x)&\cdots&u_{1k}(x)\\ u_{21}(x)&u_{22}(x)&\cdots&u_{2k}(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u_{k1}(x)&u_{k2}(x)&\cdots&u_{kk}(x) } }$$ ($u_{ij}(x)$ 為 $n$ 次可微函數). 試證: $$\hj{f^{(n)}(x)&=\sum_{r_1+r_2+\cdots+r_k=n} \f{n!}{r_1!r_2!\cdots r_k!} \sevm{ u_{11}^{(r_1)}(x)&u_{12}^{(r_1)}(x)&\cdots&u_{1k}^{(r_1)}(x)\\ u_{21}^{(r_2)}(x)&u_{22}^{(r_2)}(x)&\cdots&u_{2k}^{(r_2)}(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u_{k1}^{(r_k)}(x)&u_{k2}^{(r_k)}(x)&\cdots&u_{kk}^{(r_k)}(x) }. }$$
3.1.21 設 $x=a\cos t+b\sin t,\ y=a\sin t-b\cos t$, 求證: $$\bex \f{\rd^mx}{\rd t^m} \f{\rd^ny}{\rd t^n} -\f{\rd^nx}{\rd t^n} \f{\rd^my}{\rd t^m} =(a^2+b^2)\sin\f{n-m}{2}\pi. \eex$$
3.1.22 對例 3.1.7 如下的證法給出評論, 認為正確請說明理由, 認為不正確請給出反例. 證. $$\hj{ &\quad \vlmc{x}{0}\f{f(2x)-f(x)}{x}=A\ra f(2x)-f(x)=Ax+o(x)\\ &\ra f\sex{\f{x}{2^{k-1}}}-f\sex{\f{x}{2^k}} =A\f{x}{2^k}+o\sex{\f{x}{2^k}}\\ &\ra \sum_{k=1}^n \sex{ f\sex{\f{x}{2^{k-1}}}-f\sex{\f{x}{2^k}} }=A\sum_{k=1}^n \f{x}{2^k}+o\sex{\sum_{k=1}^n \f{x}{2^k}}\\ &\ra f(x)-f\sex{\f{x}{2^n}} =Ax(1-2^{-n})+o((1-2^{-n})x)\\ &f(x)-f(0)=Ax+o(x)\quad\sex{n\to\infty}\\ &\ra f‘(0)=\vlmc{x}{0}\f{f(x)-f(0)}{x}=A. }$$
3.2.1 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, 且 $f(a)=f(b)=0$, $f‘(a)\cdot f‘(b)>0$. 證明: 存在 $\xi\in (a,b)$, 使 $f(\xi)=0$. (哈爾濱工業大學, 華中理工大學, 華中師範大學)
3.2.2 設 $a,b,c$ 為三個實數, 證明: 方程 $\e^x=ax^2+bx+c$ 的根不超過三個. (浙江大學, 武漢汽車工業大學)
3.2.3 設 $f(x)$ 與 $g(x)$ 在 $(a,b)$ 上可微, $f(x)g‘(x)\neq f‘(x)g(x)$. 證明: $f(x)=0$ 的兩個根之間至少夾 $g(x)=0$ 的一根. (上海交通大學)
3.2.4 設 $a^3-3b<0$, 試證: $x^3+ax^2+bx+c=0$ 僅有唯一實根.
3.2.5 設 $\dps{f(x)=\f{\rd^n}{\rd x^n}(\e^{-x}x^n)}$, $x\in (0,+\infty)$. 證明: 函數 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上恰有 $n$ 個零點. (清華大學)
3.2.6 證明 Tschebyscheff-Laguerre 多項式 $$\bex L_n(x)=\e^x\f{\rd^n}{\rd x^n}(\e^{-x}x^n) \eex$$ 的所有實根都為正的.
3.2.7 證明: Tschebyscheff-Hermite 多項式 $$\bex H_n(x)=(-1)^n \e^{x^2}\f{\rd^n}{\rd x^n}(\e^{-x^2}) \eex$$ 的所有根都是實數.
3.2.8 證明: 當 $\dps{\f{a_0}{n+1}+\f{a_1}{n}+\cdots+\f{a_{n-1}}{2}+a_n=0}$ 時, 方程 $$\bex a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_n=0 \eex$$ 在 $(0,1)$ 內至少有一實根. (南京郵電大學)
3.2.9 設函數 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上連續, 且 $x>a$ 時, $f‘(x)>k>0$ ($k$ 為常數), 證明: 當 $f(a)<0$ 時方程 $f(x)=0$ 在區間 $\sex{a,a-\f{f(a)}{k}}$ 內有且只有一個根. (湘潭大學, 西安交通大學, 西安電子科技大學等)
3.2.10 設 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二階導數, 且 $f‘‘(x)>0$, $$\bex \vlmc{x}{+\infty}f‘(x)=\al>0,\quad \vlmc{x}{-\infty}f‘(x)=\be<0, \eex$$ 又存在一點 $x_0$, 使 $f(x_0)<0$, 試證明: 方程 $f(x)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有且只有兩個實根. (上海交通大學, 浙江大學)
3.2.11 設 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 內可微, 且滿足不等式 $$\bex 0\leq f(x)\leq \ln\f{2x+1}{x+\sqrt{x^2+1}},\ \forall\ x\in (0,+\infty). \eex$$ 試證明存在一點 $\xi\in (0,+\infty)$, 使得 $\dps{f‘(\xi)=\f{2}{2\xi+1}-\f{1}{\sqrt{1+\xi^2}}}$.
3.2.12 設函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 連續, 在 $(a,b)$ 內可微, 且 $f(a)<0$, $f(b)<0$, 又有一點 $c\in(a,b)$, $f(c)>0$. 證明: 存在一點 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f(\xi)+f‘(\xi)=0$. (西北大學)
3.2.13 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上連續, 在 $(0,1)$ 內可微. 證明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f‘(\xi)f(1-\xi)=f(\xi)f‘(1-\xi)$. (華中理工大學)
3.2.14 假設函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在二階導數, 並且 $g‘‘(x)\neq 0$, $f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$, 試證: (1) 在開區間 $(a,b)$ 內 $g(x)\neq 0$; (2) $(a,b)$ 內至少存在 $\xi$, 使得 $\dps{\f{f(\xi)}{g(\xi)}=\f{f‘‘(\xi)}{g‘‘(\xi)}}$. (數學一)
3.2.15 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上非負且三階可導, 方程 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 內有兩個不同實根, 證明存在 $\xi\in(a,b)$, 使 $f^{(3)}(\xi)=0$. (華中師範大學)
3.2.16 (綜合試題) 設 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上可微, 且滿足 $$\bex f(1)-2\int_0^\f{1}{2}f(x)\rd x=0. \eex$$ 求證: 在 $(0,1)$ 內至少有一點 $\xi$, 使得 $\dps{f‘(\xi)=-\f{f(\xi)}{\xi}}$.
3.2.17 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二階可導, 過點 $A(a,f(a))$ 與 $B(b,f(b))$ 的直線與曲線 $y=f(x)$ 相交於 $C(c,f(c))$, 其中 $a<c<b$. 證明: 在 $(a,b)$ 中至少存在一點 $\xi$, 使得 $f‘‘(\xi)=0$. (華中師範大學)
3.2.18 設函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續, 在開區間 $(a,b)$ 上二階可微, 並且 $f(a)=f(b)$. 證明: 若存在一點 $c\in (a,b)$, 使得 $f(c)>f(a)$, 則必存在三點 $\xi,\eta,\zeta\in (a,b)$, 使得 $f‘(\xi)>0$, $f‘(\eta)<0$, $f‘‘(\zeta)<0$. (吉林大學, 北京師範大學, 國防科技大學)
3.2.19 函數 $f(x)$ 在 $[0,x]$ 區間上的拉格朗日中值公式為 $$\bex f(x)-f(0)=f‘(\tt x)x,\qwz{其中 } 0<\tt<1, \eex$$ 且 $\tt$ 是與 $f(x)$ 與 $x$ 有關的量, 對 $f(x)=\arctan x$, 求當 $x\to 0^+$ 時 $\tt$ 的極限值. (武漢大學)
3.2.20 設 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上連續, 在 $(1,2)$ 內可微. 證明: 存在 $\xi\in (1,2)$ 使得 $$\bex f(2)-f(1)=\f{1}{2}\xi^2 f‘(\xi). \qwz{北京科技大學} \eex$$
3.2.21 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有三階導數. 試證: 存在點 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex f(b)=f(a)+\f{1}{2}(b-a)[f‘(a)+f‘(b)] -\f{1}{12}(b-a)^3f‘‘‘(\xi). \eex$$
3.2.22 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, $f‘‘(x)$ 在 $(a,b)$ 內存在, 試證: $\forall\ c:\ a<c<b$, $\exists\ \xi\in(a,b)$, 使得 $$\bex \frac{f‘‘(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}. \eex$$
3.2.23 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, 在 $(a,b)$ 內可微, $b>a>0$, 證明: 在 $(a,b)$ 內存在 $x_1,x_2,x_3$, 使得 $$\bex \f{f‘(x_1)}{2x_1}=(b^2+a^2)\f{f‘(x_2)}{4x_2^2} =\f{\ln \f{b}{a}}{b^2-a^2}x_3\cdot f‘(x_3).\qwz{四川大學} \eex$$
3.2.24 設 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上連續, 在 $(a,b)$ 內可導, 且 $a\geq 0$ (或 $b\leq0$). 試證: (1) $\exists\ x_1,x_2,x_3\in (a,b)$, 使得 $$\bex f‘(x_1)=(b+a)\f{f‘(x_2)}{2x_2} =(b^2+ba+a^2)\f{f‘‘(x_3)}{3x_3^2};\qwz{南京航空航天大學} \eex$$ (2) $\forall\ n\in \sed{1,2,\cdots}$, $\exists\ x_1,x_2,\cdots,x_n\in (a,b)$, 使得 $$\bex f‘(x_1)=(b+a)\f{f‘(x_2)}{2x_2} =\cdots=(b^{n-1}+b^{n-2}a+\cdots+ba^{n-2} +a^{n-1})\f{f‘(x_n)}{nx_n^{n-1}}. \eex$$
3.2.25 設 $f(x)$ 在有限區間 $(a,b)$ 內可微, 試證: (1) 若 $f‘(x)$ 在 $(a,b)$ 內有界, 則 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內亦有界; (北京師範大學) (2) 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內無解, 則 $f‘(x)$ 在 $(a,b)$ 內亦無界. (華東師範大學)
3.2.26 設 $f$ 在 $[a,b]$ 中任意兩點都具有介值性質: $c_1,c_2\in [a,b]$, $\forall\ r:f(c_1)<r<f(c_2)$, $\exists\ c$ 在 $c_1,c_2$ 之間, 使得 $f(c)=r$. 而且 $f$ 在 $(a,b)$ 內可導, $|f‘(x)|\leq k$ (正常數) $\forall\ x\in (a,b)$. 試證: $f$ 在點 $a$ 右連續. (同理在 $b$ 左連續) (華東師範大學)
3.2.27 設 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的可微函數. (1) 若 $\dps{\vlmp{x}f(x)}$ 存在且有限, 問 $\dps{\vlmp{x}f‘(x)}$ 是否必定存在? (雲南大學) (2) 如果 $\dps{\vlmp{x}f(x)}$ 與 $\dps{\vlmp{x}f‘(x)}$ 都存在且有限, 那麽必有 $\dps{\vlmp{x}f‘(x)=0}$, 試證明之. (雲南大學, 哈爾濱工業大學等)
3.2.28 設 $f(x)$ 於 $(0,1)$ 內可微, 且滿足 $|f‘(x)|\leq 1$, 求證: $\dps{\vlm{n}f\sex{\f{1}{n}}}$. (哈爾濱工業大學)
3.2.29 設 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上連續, 在 $(0,+\infty)$ 內可微, $f(0)=0$. 試證: (1) 若 $f‘(x)$ 單調增加, 則 $\dps{g(x)=\f{f(x)}{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 內單調增加. (同濟大學, 武漢水利電力大學, 成都科技大學等) (2) 若 $f‘(x)$ 單調遞減, 則 $\dps{\f{f(x)}{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 內單調遞減. (中國科學院)
3.2.30 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, 且 $(a,b)$ 內可微, 若存在極限 $\dps{\vlmc{x}{a^+}f‘(x)=l}$, 則右導數 $f‘_+(a)$ 存在且等於 $l$. (北京大學, 湖北大學)
3.2.31 設 $\dps{f(x)=\seddm{ |x|,&x\neq 0,\\ 1,&x=0. }}$ 證明: 不存在一個函數以 $f$ 為其導函數. (中國科學院)
3.2.32 證明: 若 $f‘‘(0)$ 存在 (有限), 則 $$\bex \vlm{h}{0}\f{f(2h)-2f(0)+f(-2h)}{4h^2}=f‘‘(0).\qwz{北京師範大學} \eex$$
3.2.33 將上題結果推廣到一般情況, 即若 $f^{(n)}(0)$ 存在 (有限), 則 ($n$ 為自然數) $$\bex \vlmc{h}{0}\sum_{k=0}^n C_n^k\f{(-1)^kf[(n-2k)h]}{(2h)^n}=f^{(n)}(0).\qwz{北京師範大學} \eex$$
3.2.34 (Schwarz 定理) 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, $f(x)$ 的廣義二階導數 $$\bex f^{[2]}(x)=\vlmc{h}{0^+}\f{f(x+2h)-2f(x)+f(x-2h)}{4h^2} \eex$$ 存在, 且恒為零. 試證: $$\bex f(x)=Ax+B,\ (A,B\mbox{ 為常數}). \eex$$
3.2.35 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, $f(a)<f(b)$, 又設對一切 $x\in (a,b)$, $\dps{\vlmc{t}{0}\f{f(x+t)-f(x-t)}{t}}$ 存在, 用 $g(x)$ 表示這一極限值. 試證: 存在 $c\in (a,b)$, 使得 $g(c)\geq 0$. (南開大學) (註意題目未假定導數存在)
3.3.1 求 $\e^{2x-x^2}$ 包含 $x^5$ 項的 Taylor 展開式. (北京大學).
3.3.2 設 $f(x)$ 在無窮區間 $(x_0,+\infty)$ 上可微分, 並且 $\dps{\vlmp{x}f(x)=\vlmc{x}{x_0^+}f(x)}$ 存在且有限, 試證: 在區間 $(x_0,+\infty)$ 內至少有一點 $\xi$, 滿足 $f‘‘(\xi)=0$. (山東大學)
3.3.3 設 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上具有連續二階導數, 又設 $f(0)>0$, $f‘(0)<0$, $f‘‘(x)<0\ (x\in [0,+\infty))$. 試證: 在區間 $\dps{\sex{0,-\f{f(0)}{f‘(0)}}}$ 內至少有一個點 $\xi$, 使得 $f(\xi)=0$. (廈門大學)
3.3.4 設 $f(x)$ 在 $x_0$ 的鄰域裏存在四階導數, 且 $|f^{(4)}(x)|\leq M$. 試證: 對於此鄰域異於 $x_0$ 的任何 $x$ 均有 $$\bex \sev{f‘‘(x_0)-\f{f(x)-2f(x_0)+f(x‘)}{(x-x_0)^2}} \leq \f{M}{12} (x-x_0)^2, \eex$$ 其中 $x‘$ 與 $x$ 關於 $x_0$ 對稱.
3.3.5 設 (1) $f(x),f‘(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續; (2) $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內存在; (3) $f(a)=f(b)=0$; (4) 在 $(a,b)$ 內存在點 $c$, 使 $f(c)>0$. 求證: 在 $(a,b)$ 內存在 $\xi$, 使 $f‘‘(\xi)<0$. (四川聯合大學)
3.3.6 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二階可導, $f(0)=f(1)=0$, $\dps{\min_{0\leq x\leq 1}f(x)=-1}$, 求證: $\dps{\max_{0\leq x\leq 1}f‘‘(x)\geq 8}$. (華中師範大學, 湖南大學, 北京師範大學)
3.3.7 設函數 $f(x)$ 在區間 $[0,1]$ 上有二階導數, 且當 $0\leq x\leq 1$ 時, 恒有 $|f(x)|\leq a$, $|f‘(x)|\leq b$. 證明: 當 $0<x<1$ 時, $\dps{|f‘(x)|\leq 2a+\f{b}{2}}$. (數學一)
3.3.8 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二次可微, $|f‘‘(x)|\leq M\ (0\leq x\leq 1)$, $M>0$, $\dps{f(0)=f(1)=f\sex{\f{1}{2}}=0}$. 證明: $\dps{|f‘‘(x)|<\f{M}{2}\ (0\leq x\leq 1)}$. (華中理工大學)
3.3.9 設函數 $f(x),g(x),p(x)$ 有連續二階導數, 試求 $$\bex \vlmc{h}{0}\f{1}{h^3}\sevm{ f(x)&g(x)&p(x)\\ f(x+h)&g(x+h)&p(x+h)\\ f(x+2h)&g(x+2h)&p(x+2h) }.\qwz{華中師範大學} \eex$$
3.3.10 若當 $x\to 0$ 時使 $\dps{\e^x-\f{1+ax}{1+bx}}$ 為盡可能高階的無窮小量, 問數 $a,b$ 應取什麽值? 用 $x$ 的冪級數寫出此時的等價無窮小.
3.3.11 設 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上二次可微, $\dps{f‘\sex{\f{a+b}{2}}=0}$. (1) 試證 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex |f‘‘(\xi)|\geq \f{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|; \eex$$ 說明常數 $4$ 是最好的 (即對任何 $M>4$, 總可找一具體的 $[a,b]$, 及其上滿足條件的 $f(x)$, 使對一切 $\xi\in (a,b)$, 都有 $\dps{|f‘‘(\xi)|<\f{M}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|}$). (2) 如果再設 $f(x)\neq$ 常數, 試證存在 $\eta\in (a,b)$, 使得 $$\bex |f‘‘(\eta)|> \f{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|.\qwz{南開大學} \eex$$
3.4.1 (1) 設 $b>a>\e$, 證明: $a^b>b^a$; (數學一) (2) 比較 $\pi^\e$ 與 $\e^\pi$ 的大小. (復旦大學)
3.4.2 設 $0<b\leq a$, 證明: $\dps{\f{a-b}{a}\leq \ln \f{a}{b}\leq \f{a-b}{b}}$. (蘭州大學, 四川大學, 華中理工大學等)
3.4.3 證明: $\dps{2^n\geq 1+n\sqrt{2^{n-1}}}$ ($n\geq 1$ 為自然數). (北京郵電大學)
3.4.4 設 $f(x)$ 定義在 $[0,c]$ 上, $f‘(x)$ 存在且單調下降, $f(0)=0$, 請用 Lagrange 中值定理證明: 對於 $0\leq a\leq b\leq a+b\leq c$, 恒有 $f(a+b)\leq f(a)+f(b)$. (復旦大學)
3.4.5 試證: 當 $x>0$ 時, $(x^2-1)\ln x\geq (x-1)^2$. (數學一)
3.4.6 設在 $[0,1]$ 上, $f‘‘(x)>0$, 則 $f‘(0),f‘(1),f(1)-f(0)$ 或 $f(0)-f(1)$ 的大小順序是 ( ). (數學一) A. $f(1)>f‘(0)>f(1)-f(0)$ B. $f‘(1)>f(1)-f(0)>f‘(0)$ C. $f(1)-f(0)>f‘(1)>f‘(0)$ D. $f‘(1)>f(0)-f(1)>f‘(0)$
3.4.7 已知在 $x>-1$ 裏定義的可微函數 $f(x)$ 滿足 $$\bex f‘(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}\int_0^x f(t)\rd t=0 \eex$$ 和 $f(0)=1$. (1) 求 $f‘(x)$; (2) 證明: $f(x)$ 在 $x\geq 0$ 滿足 $ e^{-x}\leq f(x)\leq 1. $ (大連理工大學)
3.4.8 已知 $x<0$, 求證: $\dps{\f{1}{x}+\f{1}{\ln(1-x)}<1}$. (中國地質大學)
3.4.9 證明: $\dps{\f{\e^a-\e^b}{a-b}<\f{\e^a+\e^b}{2}}$. (國外賽題)
3.4.10 證明: 對自然數 $n$, 有 $$\bex 0<\f{\e}{\sex{1+\f{1}{n}}^n}-1<\f{1}{2n}. \eex$$
3.4.11 $x>1$, $r>1$, 證明: $$\bex x^r>1+r(x-1)+\f{1}{2}r(r-1)\sex{\f{x-1}{x}}^2. \eex$$
3.4.12 設 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, 在 $(a,b)$ 內二階可導, 且 $\dps{|g‘‘(x)|\geq m>0}$ ($m$ 為常數), 又 $g(a)=g(b)=0$. 證明: $\dps{ \max_{a\leq x\leq b}|g(x)|\geq \f{m}{8}(b-a)^2}$. (北京師範大學)
3.4.13 證明 $\dps{\sex{\f{\sin x}{x}}^3\geq \cos x\ \sex{0<|x|<\f{\pi}{2}}}$. (國外賽題)
3.4.14 設 $0<x<y<1$ 或 $1<x<y$, 則 $\dps{\f{y}{x}>\f{y^x}{x^y}}$. (中國科學院)
3.4.15 若 $p>1$, 則對於 $[0,1]$ 內任一 $x$ 有 $$\bex x^p+(1-x)^p\geq \f{1}{2^{p-1}}.\qwz{南京郵電大學} \eex$$
3.4.16 設 $n$ 為自然數, $0<x<1$, 證明: $$\bex x^n(1-x)<\f{1}{\e n}.\qwz{江西師範大學} \eex$$
3.4.17 設 $0<x<1$, 試證: $$\bex \sum_{i=1}^n x^i(1-x)^{2i}\leq \f{4}{23}. \qwz{中國科學院} \eex$$
3.4.18 求出使得下列不等式對所有自然數 $n$ 都成立的最大的數 $\al$ 及最小的數 $\be$: $$\bex \sex{1+\f{1}{n}}^{n+\al}\leq \e\leq \sex{1+\f{1}{n}}^{n+\be}.\qwz{中國科學院, 北京師範大學} \eex$$
3.4.19 證明: (1) 二凸函數之和仍為凸函數; (2) 二遞增非負凸函數之積仍為凸函數.
3.4.20 設 $0<\al<1$, $x,y\geq 0$, 證明: $$\bex x^\al y^{1-\al}\leq \al x+(1-\al)y.\qwz{華中理工大學} \eex$$
3.4.21 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, 且 $\forall\ x_1,x_2\in [a,b]$, $0\leq \lm\leq 1$, 有 $f[\lm x_1+(1-\lm )x_2]\geq \lm f(x_1)+(1-\lm )f(x_2)$, 試證: 對任何 $T\in (0,b-a)$ 必存在 $x_0\in (a,b)$, 使 $x_0+T\in [a,b]$, $$\bex \f{f(x_0+T)-f(x_0)}{T} =\f{f(b)-f(a)}{b-a}. \eex$$ 即在 $[a,b]$ 上曲線 $y=f(x)$ 有任意長度 (不超過端點弦) 平行端點弦的弦. (廣西大學)
3.4.22 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上滿足 $f‘‘(x)>0$, 試證: 對於 $[a,b]$ 上任意兩個不同的點 $x_1,x_2$ 有 $$\hj{ \f{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]>f\sex{\f{x_1+x_2}{2}}.\qwz{陜西師範大學, 天津大學等} }$$
3.4.23 設 $f(x)$ 是區間 $I$ 上的嚴格凹函數, 即 $$\bex f(\lm x_0+(1-\lm)x_1)>\lm f(x_0)+(1-\lm)f(x_1),\quad \forall\ x_0,x_1\in I,\ \forall\ \lm\in (0,1). \eex$$ 試證: 若 $f$ 有極大值 $f(x_0)$, 則 $f(x_0)$ 必為 $f$ 在 $I$ 上的嚴格最大值, 即 $\forall\ x\in I$, 有 $f(x)<f(x_0)$. 因而 $f$ 的極大值若有必唯一.
3.5.1 試確定 $a,b,c$ 使 $y=x^3+ax^2+bx+c$ 在 $x=1$ 處有拐點, 在 $x=0$ 處有極大值 $1$. (無錫輕工業學院)
3.5.2 設 $\dps{F(x)=\int_0^x \e^{-t} \cos t\rd t}$. 試求 $F(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的極大值與極小值. (北方交通大學)
3.5.3 作函數 $f(x)=|x+2|\e^{-\f{1}{x}}$ 圖. (清華大學)
3.5.4 寫出下列函數的漸近線: (1) 曲線 $\dps{y=x\sin \f{1}{x}\ (x>0)}$. (數學一) (2) 曲線 $\dps{y=\f{1+\e^{-x^2}}{1-\e^{-x^2}}}$. (數學一)
3.5.5 已知一直線切曲線 $y=0.1x^3$ 於 $x=2$, 且交此此曲線於另一點, 求此點坐標. (上海科技大學)
3.5.6 試在一半徑為 $R$ 的半圓內作一面積最大的矩形. (山東大學)
3.5.7 函數 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 內連續, 其導函數 $f‘(x)$ 的圖像如圖所示, 問函數 $f(x)$ 由幾個極大、極小值點. (數學一)
3.5.8 設 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上定義的嚴格遞增函數, $g(x)$ 是某區間 $I$ 上的函數, $x_0\in I$ 為內點 ($\exists\ \del>0$, 使得 $U(x_0,\del)\subset I$), 試證: (1) $x=x_0$ 為 $g(x)$ 的極大 (極小) 值點 $\lra f(g(x))$ 亦以 $x=x_0$ 為極大 (極小) 值點. (2) 函數 $g(x)$ 無極值 $\lra f(g(x))$ 亦無極值. $f$ 在 $\bbR$ 上嚴 $\searrow$ 有類似結論.
3.5.9 設 $g(x),h(x)$ 是某區間 $I$ 上的兩函數, $g(x)\neq h(x)$, 且 $h\neq 0$, 試證: 只有如下兩種可能性: (1) $\f{g(x)}{h(x)}$ 無極值 $\lra\f{g(x)-h(x)}{g(x)+h(x)}$ 亦無極值; (2) $\f{g(x)}{h(x)}$ 與 $\f{g(x)-h(x)}{g(x)+h(x)}$ 有相同的極大、極小值點.
3.5.10 證明: 函數 $\dps{f(x)=\f{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x-2)}}$ 在 $(1,2)$ 內無極值.
3.5.11 設函數 $f(x)$ 在區間 $I$ 上連續, 且在 $I$ 上無恒等於零的子區間, 若 $f(x)$ 在 $I$ 上既有極大值又有極小值, 試證: 其極大、極小值只可能交替地出現, 並且每個極大值必比與之相鄰的極小值大.
3.5.12 一個圓錐面如果沿某一母線剪開, 展平, 就會得到一個扇形. 反之, 每個扇形可卷成圓錐面, 問半徑為 $R$ 的扇形中心角多大時, 卷成的圓錐面容積最大?
3.5.13 求橢圓 $x^2+\f{y^2}{4}=1$ 在第一象限部分的切線, 使它被坐標軸截下的線段最短.
裴禮文數學分析中的典型問題與方法第3章一元微分學練習