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很久之前在網上看了傳說中的四邊形不等式，然後現在發現忘光了。趁比賽前夕趕快拿來熟悉一下。

一、引入

形如：

dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost[i][j]}

的狀態轉移方程，如果不加優化的話ijk三層迴圈O(n^3)的複雜度是難以接受的。考慮四邊形不等式優化。其中k相當於決策，下面用sp[i][j]來表示k最優的決策。

1.四邊形不等式

對於（ a < b <= c< d )若有

f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]

則說這個東西滿足四邊形不等式，當然這個東西可能是dp陣列，也可以是其他陣列，比如引入裡提到的cost陣列，表示的是i到j的花費（比如合併石子問題）

2.重要定理（判斷此方程是否可以四邊形優化）

設s[i][j]是dp[i][j]取到最優解的k值，即s[i][j]是最優決策。

若上述花費陣列cost滿足四邊形不等式，則dp方程也滿足四邊形不等式。

若dp方程滿足四邊形不等式，則決策s單調，即s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j] 

進而有：(對於上述dp方程來講，下同)

若cost滿足四邊形不等式，則決策s也滿足四邊形不等式，即

設（i < i+1 <= j<j+1）,有：

s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j] 

3.已有結論，如何優化？

對於dp方程：

dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost[i][j]}

若已知s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]（要記住s陣列是k的最優決策），則：

• 對於j來說，s[i][j]無後效性
• 對於i來說，s[i][j]無前效性

故倒序迴圈i，正序迴圈j（當然對於特定的問題i和j也有範圍限制來減小時間常數）

然後根據每一個i，j，都已知dp[i][j-1]的最優決策k=s[i][j-1]、和dp[i+1][j]的最優決策k=s[i][j+1]，又因為當前狀態dp[i][j]的最優決策k=s[i][j]滿足s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]，所以k只需要在s[i][j-1]到s[i+1][j]之間列舉即可。而這個區間在整個三重迴圈內是一直向內縮小的，所以整個三層迴圈的k相當於只遍歷了一遍區間，故三層迴圈退化成二層迴圈的複雜度。

二、證明

佔坑，等南京比完賽再補

參考部落格