四邊形不等式

設$w(x,y)$是定義在整數集合上的二元函式。若對於定義域上的任何整數，$a,b,c,d(a\leq b\leq c\leq d)$，$\exist$$w(a,d)+w(b,c)\geq w(a,c)+w(b,d)$。則稱函式$w$滿足四邊形不等式。

一維DP的決策單調性

對於一維線性狀態轉移方程：
$dp_i=min_{j=0}^{i-1}(dp_j+val(j,i))$

而在bzoj1563詩人小G中，轉移方程如下：
設$dp_i$表示前$i$句是排版後最小不協排程，$len_i$為第$i$句詩的長度，$sum_i$為前$i$句詩的總長度+$i$。

$dp_i=min_{j=0}^{i-1}(dp_j+|sum_i-sum_j-1-L|^p)$

$val$

而對於這類決策單調性的線性轉移問題，可以記錄每一個$i$所管理的最優決策區間，在具體處理時，用單調佇列儲存三元組$(x$

複雜度$O(nlogn)$。具體實現可以參照程式碼。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double ld;
const int N=1e5+10;
const ld nf=1e18;

int n,len,pw,hd,tl,to[N],TK,T,sum[N];
ld dp[N];
char s[N][32];

struct P{
	int st,l,r;
    P(int st_=0,int l_=0,int r_=0):st(st_),l(l_),r(r_){};
}q[N],ori;

inline ld fp(int x)
{
	register ld re=1;
	for(register int i=pw;i;--i) re*=x;
	return re;
}

inline ld cal(int a,int b)
{return dp[a]+fp(abs(sum[b]-sum[a]-1-len));}

inline void sol()
{
	register int i,j,L,R,mid,ans;
	scanf("%d%d%d",&n,&len,&pw);
    for(i=1;i<=n;++i) {
    	scanf("%s",s[i]);
    	sum[i]=sum[i-1]+strlen(s[i])+1;
    }
    hd=tl=0;q[hd]=ori=P(0,1,n);
    for(i=1;i<=n;++i){
    	for(;q[hd].r<i;++hd) q[hd]=ori;
    	to[q[hd].st]=i;dp[i]=cal(q[hd].st,i);
    	for(;cal(i,q[tl].l)<cal(q[tl].st,q[tl].l);--tl) q[tl]=ori;
    	L=q[tl].l;R=q[tl].r;j=q[tl].st;ans=L;
		for(;L<=R;){
    		mid=(L+R)>>1;
    		if(cal(j,mid)<=cal(i,mid)) L=(ans=mid)+1;
    		else R=mid-1;
    	}
    	if(ans<n){
    		q[tl].r=ans;
    		q[++tl]=P(i,ans+1,n);
    	}
    }
    if(dp[n]>nf) puts("Too hard to arrange");
    else printf("%lld\n",(long long)(dp[n]+0.5));
    printf("--------------------\n");
}

int main(){
    hd=0;tl=1;
    scanf("%d",&T);
    for(TK=1;TK<=T;++TK) sol();
    return 0;
}

二維DP的優化

對於區間$DP$中的二維狀態轉移方程：
$dp[i][j]=min_{k=i}^{j-1}(dp[i][k]+dp[k+1][j]+val(i,j))$
若$val$滿足四邊形不等式，且對於任意的$a\leq b\leq c\leq d$，$\exist val(a,d)\geq val(b,c)$，那麼$dp$也滿足四邊形不等式。(證明要用到數學歸納法)

設$dp[i][j]$的最優決策為$P[i][j]$
當$dp$滿足四邊形不等式時，對於任意$i<j$，$\exist P[i][j-1]\leq P[i][j]\leq P[i+1][j]$

而石子合併的DP方程為：
$dp[l][r]=min_{k=l}^{r-1}(dp[l,k]+dp[k+1][r])+\sum\limits_{i=l}^rA_i$

$val(l,r)=\sum_{i=l}^rA_i$顯然是滿足四邊形不等式的(取到等號)，所以求$dp[l][r]$時，只需要列舉$dp[l][r-1]\leq k\leq dp[l+1][r]$即可。
總複雜度為$O(\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^n(P[i+1,j]-P[i][j-1]+1))=O(\sum\limits_{i=1}^{n-1}n-n+n)=O(n^2)$。原列舉複雜度$O(n^3)$

p.s.
證明什麼的，哪天心情好再補吧。ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ