題意

有一個長度為 \(n\) 的序列 \(A\) 和常數 \(L, P\) ，你需要將它分成若干段，每 \(P\) 一段的代價為 \(| \sum ( A_i ) − L|^P\) ，求最小代價的劃分方案。

\(n \le 10^5 , 1 \le P \le 10\)

題解

考慮暴力 \(O(n^2)\) dp。
\[ dp_i = \min_{j = 0} ^ {i - 1} |sum_j - sum_i - L|^P + dp_j \]
這個方程是具有決策單調性的。

決策單調性是指，對於任意 \(u < v < i < j\) ，若在 \(i\) 處決策 \(v\) 優於決策 \(u\)

，則在 \(j\) 處必有決策 \(v\) 優於決策 \(u\) 。

至於證明，你考慮那是個二次函式，一階導數單增等性質就可以了。

然後考慮用一個棧來維護每個決策會更新的區間就行了，新加入一個決策時要二分得到它的區間。

具體二分的時候就找到 \(f(mid, i) - f(mid, stk[top])\) 的零點就行了，之後的點肯定 \(i\) 更優。

然後每次轉移的話就二分找到當前這個點屬於的決策區間，注意邊界問題，然後每次要把棧頂所有當前不優於它的狀態都要彈掉。

所以最後複雜度就是 \(O(n \log n)\) 的。

總結

決策單調性優化都可以用棧維護轉移區間，然後每次二分找轉移點，以及求區間就行了。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

typedef long double ld;
typedef long long ll;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("P1912.in", "r", stdin);
    freopen ("P1912.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1e5 + 1e3;

int n, Pow, L;

int sum[N], pre[N], stk[N], seg[N];

int ans[N]; char str[N][50];

ld dp[N];

ld fpm(ld x, int power) {
    ld res = 1;
    for (; power; power >>= 1, x *= x)
        if (power & 1) res *= x;
    return res;
}

ld Calc(int S, int T) {
    return S >= T ? 1e18 + 1 : dp[S] + fpm(abs(sum[T] - sum[S] - L), Pow);
}

int main () {

    File();

    int cases = read();
    while (cases --) {
        n = read(); L = read(); Pow = read();
        For (i, 1, n) {
            scanf ("%s", str[i]);
            sum[i] = sum[i - 1] + strlen(str[i]) + 1;
        }
        ++ L;
        int top = 1; stk[1] = seg[1] = dp[0] = 0;

        For (i, 1, n) {
            int pos = upper_bound(seg + 1, seg + top + 1, i) - seg - 1;
            dp[i] = Calc(pre[i] = stk[pos], i);
            for (; top && Calc(stk[top], seg[top]) > Calc(i, seg[top]); -- top);

            int l = seg[top], r = n, res = 0;
            while (l <= r) {
                int mid = (l + r) >> 1;
                if (Calc(stk[top], mid) <= Calc(i, mid)) 
                    res = mid, l = mid + 1;
                else
                    r = mid - 1;
            }
            if (res < n)
                seg[++ top] = res + 1, stk[top] = i;
        }

        if (dp[n] > 1e18) puts("Too hard to arrange");
        else {
            printf ("%lld\n", (ll) dp[n]);
            top = 0;
            for (int u = n; u; u = pre[u]) 
                ans[++ top] = u;
            ans[top + 1] = 0;
            Fordown (i, top, 1) For(j, ans[i + 1] + 1, ans[i])
                printf ("%s%c", str[j], j == jend ? '\n' : ' ');
        }
        puts("--------------------");
    }

    return 0;

}