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前言

我是菜雞，如有不對的地方煩請指正。

起始

上週（好像是上週）的時候作業系統的老師丟擲了一個問題留給我們：

對以下程式在一臺主流配置 的PC上，呼叫f(36)所需要 的時間大概是多少？請給出時間估算的依據並對程式的執行情況進行詳細的解析說明。

int f(int x) {
	int s = 0;
	while (x++ > 0) s += f(x);
	return std::max(s, 1);
}

第一反應

顯然在棧資源無窮且使用超算的情況下，這個遞迴的壽命會比銀河系的壽命（140億年，我查的）還要長，因為總規模為$2^{2^{31}-36}$

注

以下所有（瞎）分析建立在忽略編譯優化及O2優化的情形下。

硬體資源

拋開四萬塊起步的iMac Pro（128GB記憶體和18核超執行緒Xeon），現在主流PC配置普遍是16GB記憶體和6核12執行緒的i7 8700k（暫不考慮剛釋出的9700k，因為還沒有流片）或8核16執行緒的Ryzen 7 2700k。

但是！其實用什麼CPU都無所謂，因為單純地執行這個程式實際取決於記憶體和硬碟的一些引數和CPU的單核運算效能，而且由於作業系統的存在，只要不是上個世紀的電腦，實際執行中都不會對這個程式的執行時間產生多大的限制。

一般來說，在演算法競賽中普遍認為CPU的時間複雜度上界為$1$

程式碼（瞎）分析

對於每一次呼叫，它都會重複呼叫自己$2^{31} - 1 - x + 1 = 2^{31} - x$(次)，試圖畫一下遞迴樹：

其中：每個節點上的數字x代表呼叫一次f(x)，可見，從樹根開始，第一層有$1$

但是一層一層的算節點個數並不符合實際情形，雖然這樣能比較容易地計算樹的實際規模，但是這不滿足深搜樹的實際增廣時的行為。

對於深搜樹來說，一條樹鏈的最大長度$L$等於樹的高度，同時也是深度$depth$，也就是說在記憶體中最多隻能同時存在$2147483611$個這樣的遞迴子程式，我們來粗略計算一下它需要的記憶體資源。

取變數$s$和$x$的記憶體佔用（8位元組）作為單個子程式的記憶體佔用，那麼實際佔用的資源約為$2147483611 \times 8 \div 1024 \div 1024 \div 1024 = 16.00745030492544(GB) \approx 16(GB)$，也就是說需要16GB的棧大小。

但是！Linux下的棧大小大約為8MB（比8MB小一點），垃圾Windows更是少得可憐，所以到這裡沒有繼續（瞎）分析下去的必要了。

結論

這個遞迴程式在爆棧之後就會立刻結束，所以說在寫入大概$10^6$次之後程式就會結束，忽略遞迴的呼叫時間理論上應該在$\frac{1}{1000}$秒左右，但因為遞迴呼叫的存在，實際情況要大一些，但憑經驗判斷理應在$1$秒以內，這裡不再做深入的探究。

能否讓這個程式健康地執行

答案是可以的，可以用全域性棧來模擬遞迴呼叫，這樣實體記憶體有多大程式本身就可以用到多大的記憶體，此時如果你的記憶體足夠大，則取決於CPU的單核運算效能，如果記憶體小於16GB，那麼會發生記憶體交換，由於木桶效應的存在，此時程式的運算速度就會收到硬碟讀寫速度的制約。

$2^n$樹的規模證明

首先，可以將上文中提到的深搜樹剪為一顆左偏深搜樹： 易知，這棵樹的整體規模為$\sum_{i=1}^{(2^{31}-36)}i$，推廣到原樹上，每過一層就會多一層$\sum$，顯然，$n$層這樣的$\sum$逼近於$2^n$。

證畢。