概念

• 遞迴：從已知問題的結果出發，用迭代表達式逐步推算出問題的開始的條件，即順推法的逆過程，稱為遞迴。
• 遞推：遞推演算法是一種用若干步可重複運算來描述複雜問題的方法。遞推是序列計算中的一種常用演算法。通常是通過計算機前面的一些項來得出序列中的指定象的值。
• 遞迴與遞推區別：相對於遞迴演算法,遞推演算法免除了資料進出棧的過程，也就是說,不需要函式不斷的向邊界值靠攏,而直接從邊界出發,直到求出函式值。

演算法舉例1

• 斐波那契數列：已知f(1) = 1 , f(2) = 1 , 且滿足關係式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，則f(50)等於多少？
• 分析：根據初始條件f(1) = 1 , f(2) = 1 和關係式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可知，f(3) = f(2) + f(1) , f(3) = f(2) + f(1) …….
• 編寫程式碼（遞迴）

public class Fibonacci {

    static int fun(int n){
        if(n == 1 || n == 2){
            return 1 ;
        }else{
            return fun(n-1) + fun(n-2) ;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        for(int i = 1 ; i <= 15 ; ++i)
        System.out.println(fun(i));
    }
}
 

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• 編寫程式碼（遞推）

static int fun2(int n){
        int a[] = new int[20] ;
        a[1] = 1 ;
        a[2] = 1 ;
        for(int i=3 ; i<=n ;i++){
            a[i] = a[i-1] + a[i-2] ;
        }
        return a[n] ;
    }

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演算法舉例2

• 使用遞迴計算1+2+…+100 ；
• 分析：遞迴關係為f(n) = f(n-1) + n ，遞迴出口為f(1) = 1 ;
• 編寫程式碼（遞迴）：

public class Sum {

    static int fun(int n){
        if( n == 1){
            return 1 ;
        }else{
            return fun(n-1) + n ;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        System.out.println(fun(100));
    }
}

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• 編寫程式碼（遞推）

static int fun2(int n){
        int a[] = new int [200] ;
        a[1] = 1 ;
        for(int i=2 ; i<=n ; i++){
            a[i] = a[i-1] + i ;
        }
        return a[n] ;
    }

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5050

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演算法舉例3

• 爬樓問題：假設有n階樓梯，每次可爬1階或2階，則爬到第n層有幾種方案？
• 問題分析：假設一階時只有一種方案f(1) = 1 ; 二階時有兩種方案（即一次走一階和一次走兩階）f(2) = 2 ;三階時有3種 f(3) = 3 ;四階時有五種 f(5) = 5 ;發現遞迴規律f(n) = f(n-1) + f(n-2) ; 遞迴出口為f(1) = 1、f(2) = 2 ;
• 編寫程式碼（遞迴）：

public class Ladder {

    static int fun(int n){
        if(n == 1){
            return 1 ;
        }else if(n == 2){
            return 2 ;
        }else{
            return fun(n-1) + fun(n-2) ;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        System.out.println(fun(5));
    }
}

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• 編寫程式碼（遞推）：

static int fun2(int n){
        int a[] = new int [200] ;
        a[1] = 1 ;
        a[2] = 2 ;
        for(int i=3 ; i<=n ;i++){
            a[i] = a[i-1] + a[i-2] ;
        }
        return a[n] ;
    }

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由上述例子可知，遞迴的重點是找到遞迴關係和遞迴出口。