4.1預備知識

樹（tree）可以用幾種方式定義。定義樹的一種自然的方式使遞迴的方式。一棵樹使一些節點的集合。這個集合可以是空集；若不是空集，則樹由稱做為根（root）的節點r以及0個或多個非空的樹集合T1、T2、T3組成，這些子樹的每一課根都被來自根r的一條又向邊（edge）所連線。

樹的基本概念

1. 樹葉：沒有兒子的節點
2. 兄弟：具有相同父親的節點
3. 祖父：從根到該節點所經分支上的所有節點；
4. 孫子：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫；
5. 路徑：從節點n1到nk的路徑的定義為節點n1,n2,n3,n4…nk的一個序列，使得對於節點ni是ni+1的父親。這條路徑的長是為該路徑上的邊的條數。
6. 樹的深度：從樹的根節點到ni的唯一路徑的長
7. 樹的高度：從ni到一片樹葉的最長路徑的長度

4.1.1 樹的實現

4.1.2 樹的遍歷和應用

• 先序遍歷：在先序遍歷中，對節點的處理工作是在它的諸兒子節點被處理之前處理的（pre）。比如UNIX檔案系統中的目錄結構遍歷
• 後序遍歷。在後序遍歷中，一個節點處的工作是它的諸兒子節點被計算後進行的。比如統計UNXI檔案系統中資料夾的磁碟區塊個數。

4.2 二叉樹

二叉樹是一棵樹，其中樹的每個節點都不能有多於兩個的兒子。有一種特殊的二叉樹，即二叉查詢樹，其深度的平均值是O(logN)，並且這些操作的平均時間是O(logN)。

4.2.1 實現

4.2.2 列子：表示式樹

圖中顯示的就是一個表示式樹的列子。表示式樹的樹葉是運算元，如常數或者變數名，而其他節點都是操作符。

• 中綴表示式：中序遍歷（左子樹，節點，右子樹）
• 字尾表示式：後序遍歷（左子樹，右子樹，節點）
• 字首表示式：前序遍歷（節點，左子樹，右子樹）

4.3 查詢ADT–二叉查詢樹

基本概念：使二叉樹成為二叉查詢樹的性質是，對於樹的每一個節點X，它的左子樹的所有項的值小於X中的項，而它的右子樹中所有項的值大於X中的項。

二叉查詢樹的平均深度是O(logN)，並且操作的平均執行時間是O(logN)。

4.3.1 contains方法

4.3.2 findMin方法和findMax方法

4.3.3 insert方法

4.3.4 remove方法

如果節點是一片樹葉，那麼它可以立即被刪除。如果節點有一個兒子，則該節點可以在其父節點調整自己的鏈以繞過該節點後被刪除。

複雜的情況處理有兩個兒子的節點。一般的刪除策略是用其右子樹的最小的資料（很容易找到）代替該節點的資料並遞迴地刪除那個節點。因為右子樹中最小的節點不可能有左兒子，所以第二次remove就要容易。

如果刪除的次數不多，通常使用的是**惰性刪除**：當一個元素要被刪除的時候，它仍留在樹中，而只是標記為刪除。

4.3.5 平均情況分析

假設所有的插入序列都是等可能的，則樹的所有節點的平均深度為O(logN)

二叉查詢樹的平均執行時間是O(logN)

• 問題：如果一顆樹的輸入預先排序好的資料，那麼一連串的insert操作將花費二次的時間，而連結串列實現的代價會非常巨大，因此樹將只由那些沒有左兒子的節點組成。一種解決方法就是要有一個稱為平衡的附加結構條件：任何節點的深度都不能過深。

所以引入了平衡二叉查詢樹：AVL樹

4.4 AVL樹

AVL樹是帶有平衡條件的二叉查詢樹。這個平衡條件必須要容易保持，並且它保證樹的深度必須是O(logN)

一顆AVL樹是其每個節點的左子樹和右子樹的高度差為1的二叉查詢樹。

4.4.1 單旋轉

4.4.2 左右雙旋轉

4.5 伸展樹

伸展樹：它保證從空樹開始連續M次對樹的操作最多花費O(MlogN)時間。

一般來說，當M次操作的序列總的最壞情形執行時間為O(Mf(N)),我們就說他的攤還代價是O(logN)

伸展樹的基本想法是：當一個節點被訪問後，它就要經過一系列AVL樹的旋轉被推到跟節點上。

4.5.2 伸展

4.6 再探樹的遍歷

• 中序遍歷：該方法能夠解決將項排序的問題。正如我們所看到的，這類程式當用於二叉查詢樹的時候則稱為中序遍歷。（左子樹，根節點，右子樹）

• 後序遍歷：該方法可以用於遍歷樹的高度。（左子樹，右子樹，根節點）

• 前序遍歷：該方法用於遍歷樹的深度。（根節點，左子樹，右子樹）

• 層序遍歷：在層序遍歷中，所有深度為d的節點都要在深度為d+1節點之前進行處理。層次遍歷與其他型別遍歷不同的地方在於它不是遞迴地執行；它需要使用到佇列，而不使用遞迴所默示的棧。

4.7 B樹

磁碟的代價太高了

首先，簡單說一下B樹產生的原因。B樹是一種查詢樹，我們知道，這一類樹（比如二叉查詢樹，紅黑樹等等）最初生成的目的都是為了解決某種系統中，查詢效率低的問題。B樹也是如此，它最初啟發於二叉查詢樹，二叉查詢樹的特點是每個非葉節點都只有兩個孩子節點。然而這種做法會導致當資料量非常大時，二叉查詢樹的深度過深，搜尋演算法自根節點向下搜尋時，需要訪問的節點也就變的相當多。如果這些節點儲存在外儲存器中，每訪問一個節點，相當於就是進行了一次I/O操作，隨著樹高度的增加，頻繁的I/O操作一定會降低查詢的效率。

這裡有一個基本的概念，就是說我們從外儲存器中讀取資訊的步驟，簡單來分，大致有兩步：

1. 找到儲存這個資料所對應的磁碟頁面，這個過程是機械化的過程，需要依靠磁臂的轉動，找到對應磁軌，所以耗時長。
2. 讀取資料進記憶體，並實施運算，這是電子化的過程，相當快。 綜上，對於外儲存器的資訊讀取最大的時間消耗在於尋找磁碟頁面。那麼一個基本的想法就是能不能減少這種讀取的次數，在一個磁碟頁面上，多儲存一些索引資訊。B樹的基本邏輯就是這個思路，它要改二叉為多叉，每個節點儲存更多的指標資訊，以降低I/O運算元。

4.8 標準庫中的集合與對映

4.8.1 關於Set介面

Set 介面不允許重複的Collection。有介面SortedSet給出的一種特殊型別的Set保證其中的各項處於有序狀態。

由Set所要求的一些獨特的操作是一些插入、刪除以及執行基本查詢的能力。保持各項以有序狀態的Set的實現是TreeSet。

get操作和add操作

4.8.2 關於Map介面

Map是一個介面，代表由關鍵字以及它們的值組成的一些項的集合。關鍵字必須是唯一的，但是若干關鍵字可以對映到一些相同的值。因此值不必是唯一的。

在SortedMap介面中，對映中的關鍵字保持邏輯上是有序狀態。SortedMap介面的一種實現是TreeMap類。Map的基本操作包括isEmpty、clear、size等方法。