一.數學基礎

     定義1：如果存在正常數和使得當N時T(N)cf(N)，則記為T(N) = O(f(N))

     定義2：如果存在正常數和使得當N時T(N)cg(N)，則記為T(N) = (g(N))

     定義3：T(N) = (h(N))當且僅當T(N) = O(h(N))和T(N) = (g(N))

     定義4：如果對每一正常數c都存在常數使得當N時T(N)cp(N)，則T(N) = o(p(N))，也就是說T(N) = O(p(N))且T(N)(p(N))，則T(N) = o(p(N))

     這些定義的目的在於可以比較函式的相對增長率(Relative Rate of Growth)，換句話講：

數學表示式	相對增長率
T(N) = O(f(N))	T(N)的增長率F(N)增長率
T(N) = (g(N))	T(N)的增長率F(N)增長率
T(N) = (h(N))	T(N)的增長率=F(N)增長率
T(N) = o(p(N))	T(N)的增長率F(N)增長率

        當T(N) = O(f(N))時，f(N)是T(N)的一個上界(upper bound)，當T(N) = (g(N))是，f(N)是T(N)的一個下界(lower bound)。看函式增長變化率有以下幾個法則：

      法則1：若(N) = O(f(N))且(N) = O(g(N))，那麼(a).(N)+(N)=O(f(N)+g(N))，(b)=O()

      法則2：若T(N)是一個k次多項式，則T(N) =  

      法則3：對任意常數k，

      我們在運算的時候一般不把常數和低次項放入括號中，在大O的任何分析中，要求的精度比較低

      我們能通過計算來確定兩個函式的相對增長率，必要時可以使用洛必達法則。若極限為0，則f(N) = o(g(N))；若極限為c0，意味著f(N) = (g(N))；若極限是，則g(N) = o(f(N))；若極限擺動，則兩者無關。

二.執行時間計算

      要分析的最重要的資源就是執行時間，一般我們定義兩個函式，一個為平均執行時間，一個為最壞情況執行時間。為了簡化分析，我們做出如下約定：不存在特定的執行時間單位，拋棄前導的常數與低階項，大O的運演算法則如下：

      法則1：for迴圈的執行時間為執行一次的時間乘上迭代次數

      法則2：for迴圈的巢狀，若有N個for迴圈巢狀，演算法複雜懂就為

      法則3：順序語句將各個語句執行時間求和即可

      法則4：分支判斷語句if/else總時間不超過if執行時間加上else執行時間

三.執行時間的對數  

      分析演算法最混亂的方面在對數的分析上，某些分治演算法將以時間執行，對數最常出現的規律可概括為：

      如果一個演算法用常數時間O(1)將問題的大小削減為其一部分(通常為1/2)，那麼該演算法就為O(logN)。另一方面，如果使用常數時間只是把問題減少一個常數的數量，那麼這種演算法就是O(N)的。