這裡先介紹mincut和maxflow,為介紹Grabcut打下基礎。Grabcut可以用在影象分割和文字二值化中。

1 首先介紹Mincut問題。

這部分內容主要翻譯自[1],可以看原版理解的更深.由於個人沒有看過中文教材，因此可能一些專業術語翻譯的不太對，敬請見諒。

一個有向圖，並有一個源頂點（source vertex）和目標頂點（target vertex）.邊的權值為正,又稱之為容量（capacity）.如下圖

一個st-cut(簡稱割cut)會把有向圖的頂點分成兩個不相交的集合，其中s在一個集合中，t在另外一個集合中（在影象分割中，你可以將s理解成前景，t理解成背景）。

這個割的容量（capacity of the cut）就是A到B所有邊的容量和。注意這裡不包含B到A的。參見下面幾幅圖。最小割問題就是要找到割容量最小的情況。

可以想象成某某國家要控制網路，使得國民不能跟外面聯絡，S代表某個國家，t代表其餘的世界。而每條邊上代表著是頻寬，頻寬越大，肯定建設成本也越大，在進行cut的時候當然希望能達到完全斷開的效果但又能破壞越少的基建設施,這就是最小割問題。

2 Maxflow

接著介紹maxflow問題。跟mincut問題類似，maxflow要處理的情況也是一個有向圖，並有一個原頂點（source vertex）和目標（target vertex

一個st-flow(簡稱flow)是為每條邊附一個值，這個值需要滿足兩個條件

1  0<=邊的flow <<邊的capacity

2 除了s和t外，每個頂點的inflow要等於outflow

見下圖，其實這個很好理解，可以想象成水管或者電流。

一個flow的值（value of the flow）就是t的inflow.Maxflow就是找到這個最大值。

後面會發現Mincut和maxflow的問題是對偶的，解出了maxflow也就知道了mincut的解。

現在先介紹一種解maxflow

（1）初始化，所有邊的flow都初始化為0

（2）沿著增廣路徑增加flow。增廣路徑是一條從s到t的無向路徑，但也有些條件，可以經過沒有滿容量的前向路徑（s到t）或者是不為空的反向路徑(t->s)

opencv用的是文獻[2]的演算法。這裡先不做介紹。

3 maxflow-mincut理論證明對偶性（optional）

首先定義一個概念net flow,經過一個割cut(A,B)的net flow等於從A到B的邊flow的和減去從B到A邊flow的和。

然後我們就有了flow-value引理：f為任意的流，(A,B)為任意的割，那麼f的值 value of flow（也就是t的inflow）等於經過（A,B）的netflow.

如下圖，value offlow = 8+9+10 = 27 , 而割的net flow = 8+2+7-2+12 = 27.要證明這個引理可以用數學歸納法。

Weak duality(弱對偶)：f為任意的流，（A，B）為任意的割，那麼Valueof flow <= capacity of cut(A,B)

因為cut(A,B)等於從A到B流量，而value offlow等於cut（A，B）的netflow,還得減去從B到A邊的流量。

那麼現在我們可以引出兩個定理：

增廣路徑定理（Augmenting Path theorem）:一個流f是最大流當且僅當沒有增廣路徑。

最小割最大流定理（Maxflow-mincut theorem）:Maxflow的值等於最小割的容量。

要證明上面的定理，只要證明下面三個條件是等價的就可以了：

（1）存在一個割的容量等於flow f的值

（2）f是最大流

（3）對於f沒有增廣路徑

首先我們證明（1）->（2）。假設我們有一個割（A,B）的容量等於f的值，那麼利用弱對偶的關係，其他流的值<=(A,B)的容量，而由於1的假設，（A，B）的容量等於f的值，因此得到其他流的值都小於f的值，從而（2）成立

接著證明（2）->(3)。我們來證明它的逆否命題。對於f如果還有還有增廣路徑，那f不是最大流，這很顯然，如果按照FF演算法的話，我們還可以增加flow f的值，因此f就不會是最大流，因此逆否命題成立，也就代表（2）->(3)成立。

最後證明從（3）->(1)。讓割（A,B）滿足這麼一個條件：s在A中，且A中的頂點通過一些無向的邊連線而成，這些邊要麼是不是滿的前向邊要麼是非空的反向邊。如下圖中加粗的邊。

那麼根據定義，s在A中，由於沒有增廣路徑，因此t在B中。

由於這個割的B到A的邊流量全是0，

這個割的容量= 沿著這個割的netflow(從A到B邊的流量-從B到A邊的流量)

又根據flow-value引理，netflow = value of low,因此推出（1）.

最後我們怎麼根據最大流的解得到最小割的解呢，就是和證明（3）->(1)中的一樣讓割（A,B）滿足這麼一個條件：s在A中，且A中的頂點通過一些無向的邊連線而成，這些邊要麼是不是滿的前向邊要麼是非空的反向邊

[2]An Experimental Comparison ofMin-Cut/Max-Flow Algorithms forEnergy Minimization in Vision