摘要：影象分割中”Graph Cut”、”Grab Cut”等方法都有使用到最小割演算法。網上資料介紹了Graph cut和Grab cut中圖的構建方法，但對最小割的求解一筆帶過。所以萌生了寫一篇介紹圖的最小割和最大流的部落格的想法。

關鍵字：影象處理, 最小割, 最大流, 影象分割

1. 題外話

圖的最小割和最大流問題是圖論中比較經典的問題，也是各大演算法競賽中經常出現的問題。影象分割中”Graph Cut”、”Grab Cut”等方法都有使用到最小割演算法。網上資料介紹了Graph cut和Grab cut中圖的構建方法，但對最小割的求解一筆帶過。所以萌生了寫一篇介紹圖的最小割和最大流的部落格。

2. 關於最小割（min-cut）

假設大家對圖論知識已經有一定的瞭解。如圖1所示，是一個有向帶權圖，共有4個頂點和5條邊。每條邊上的箭頭代表了邊的方向，每條邊上的數字代表了邊的權重。

G = < V, E >是圖論中對圖的表示方式，其中V表示頂點(vertex)所構成的集合，E表示邊(edge)所構成的集合。頂點V的集合和邊的集合E構成了圖G(graph)。

那什麼是最小割呢？

以圖1為例，圖1中頂點s表示源點(source)，頂點t表示終點(terminal)，從源點s到終點t共有3條路徑：

• s -> a -> t
• s -> b -> t
• s -> a -> b-> t

現在要求剪短圖中的某幾條邊，使得不存在從s到t的路徑，並且保證所減的邊的權重和最小。相信大家能很快想到解答：剪掉邊”s -> a”和邊”b -> t”。

剪完以後的圖如圖2所示。此時，圖中已不存在從s到t的路徑，且所修剪的邊的權重和為：2 + 3 = 5，為所有修剪方式中權重和最小的。

我們把這樣的修剪稱為最小割。

3. 關於最大流（max-flow）

什麼是最大流呢？

繼續以圖1為例，假如頂點s源源不斷有水流出，邊的權重代表該邊允許通過的最大水流量，請問頂點t流入的水流量最大是多少？

從頂點s到頂點t的3條路徑著手分析，從源點s到終點t共有3條路徑：

• s -> a -> t：流量被邊”s -> a”限制，最大流量為2
• s -> b -> t：流量被邊”b -> t”限制，最大流量為3
• s -> a -> b-> t：邊”s -> a”的流量已經被其他路徑佔滿，沒有流量

所以，頂點t能夠流入的最大水流量為：2 + 3 = 5。

這就是最大流問題。所以，圖1的最大流為：2 + 3 = 5。

細心的你可能已經發現：圖1的最小割和最大流都為5。是的，經過數學證明可以知道，圖的最小割問題可以轉換為最大流問題。所以，演算法上在處理最小割問題時，往往先轉換為最大流問題。

那如何憑直覺解釋最小割和最大流存在的這種關係呢？借用Jecvy部落格的一句話：1.最大流不可能大於最小割，因為最大流所有的水流都一定經過最小割那些割邊，流過的水流怎麼可能比水管容量還大呢？ 2.最大流不可能小於最小割，如果小，那麼說明水管容量沒有物盡其用，可以繼續加大水流。

4. 最大流的求解

現在我們已經知道了最小割和最大流之間的關係，也理解了最小割問題往往先轉換為最大流問題進行求解。那麼，如何有效求解最大流問題呢？

事實上，我並不打算自己再把最大流演算法講解一遍，因為最大流演算法很容易在搜尋引擎上搜索到。我真正要講的是下面的部分，關於如何把最大流的結果轉換到最小割。

5. 如何把最大流的結果轉換為最小割

網上介紹最小割和最大流往往介紹完最大流的求解方法後就不繼續講解了，我上面貼出的兩篇部落格都存在這個問題。這樣大家肯定會有個疑惑：如何把最大流的結果轉換為最小割。

我以上面貼出的Ford-Fulkerson演算法的部落格的結果為例講解下如何轉換。如圖3是最大流求解演算法的最終結果。邊上的數字“@/#”表示這條邊最大流量為#，在最大流求解演算法中該邊所使用的流量為@。比如邊“13/15”表示該邊最大能容納的流量為15，但在最大流求解演算法中使用到的流量為13。

我們把流量已經佔滿的所有邊去掉，得到圖4：

此時，在圖4中，以頂點s為起點進行圖遍歷（遍歷的方法可以選擇BFS廣度優先遍歷）。遍歷結束後，可以得到遍歷經過的所有點：S、B、C、D。

有些沒學過圖遍歷的小夥伴可以這樣理解：從頂點s出發，最多能經過哪些點。那麼，很顯然，最多能經過S、B、C、D這幾個點。只不過人腦回答這個問題比較簡單，但計算機需要特定的演算法來解答，也就是上一段所說的”圖遍歷演算法”。

這樣，把S、B、C、D構成一個子圖（圖4中紫色部分），其他的點A、E、F、t構成另一個子圖（圖4中黃色部分）。連線兩個子圖的邊有兩種情況：

• 已被佔滿的前向邊：s -> A， B -> E， D -> t
• 沒有流量的反向邊：A -> B， E -> D

其中“已被佔滿的前向邊”就是我們要求的最小割。對於圖4來說，就是”s -> A”、”B -> E”、”D -> t”這3條邊。

6. 如何將最小割方法應用到影象分割中

寫這篇有關最小割的部落格，其實是為了給下一篇部落格做鋪墊。下一篇部落格將介紹Graph cut、Grab cut等演算法是如何利用最小割來實現影象分割的。