目標：

1. 線性方程
2. 線性系統

一、線性方程

Linear Equation：

給定一個線性方程的例子：

把線性方程寫成矩陣的形式。

通常，我們求解線性方程時，A和b是已知的，x是未知的。

Solving Linear Equations：

Successive elimination (through factorization) ：逐次消去（通過因式分解）

Gaussian Elimination：高斯消去

例子：給定一個線性方程式，寫成增廣矩陣。然後將係數部分化簡成單位矩陣。得到的b部分的值，就是方程式的解。

Gaussian Elimination – rref()：使用MATLAB求解

>> A = [1 2 1;2 6 1;1 1 4];
>> b = [2; 7; 3];
>> R = rref([A b])

R =

     1     0     0    -3
     0     1     0     2
     0     0     1     1

使用matlab的內嵌函式rref()求解出最終的矩陣形式，可以看到x=-3,y=2,z=1.

LU Factorization:LU分解

假設我們想要求解：

將矩陣A分解為2個三角矩陣：

問題就成為：

最後的求解方法：

1. Solve ?−1? = ? to obtain ? 
2. Then solve ?? = ?

Lower and Upper Triangular Matrices ：上下三角矩陣

上三角矩陣：

下三角矩陣：

How to Obtain ? and ??

矩陣L和U是通過一系列左乘獲得的。即

LU Factorization Example：

LU Factorization – lu()：使用MATLAB求解LU分解

>> A = [1 1 1;2 3 5;4 6 8];
>> [L, U, P] = lu(A);
>> L

L =

    1.0000         0         0
    0.2500    1.0000         0
    0.5000         0    1.0000

>> U

U =

    4.0000    6.0000    8.0000
         0   -0.5000   -1.0000
         0         0    1.0000

>> P

P =

     0     0     1
     1     0     0
     0     1     0
 

接下來：運用上邊的方法，寫出式子，求出x

Matrix Left Division: \ or mldivide()：

求解一個線性方程使用因式分解：這種方法是經過多個步驟的，但是使用起來是最簡單的方法。

>> A = [1 2 1;2 6 1;1 1 4]; 
>> b = [2; 7; 3]; 
>> x = A\b

x =

   -3.0000
    2.0000
    1.0000

矩陣分解函式：

Cramer的（逆）方法：

給定一個矩陣：

假設存在逆矩陣  如下式：

得出變數x為：

Inverse Matrix：

對於一個矩陣A，他的逆矩陣求解方法為：

det(A)為矩陣A的行列式，計算方法為：

逆矩陣的性質：

Solving Equations Using Cramer’s Method：

求解x

>> A = [1 2 1;2 6 1;1 1 4];
>> b = [2; 7; 3];
>> x = inv(A)*b

x =

   -3.0000
    2.0000
    1.0000

Singular（奇異的）：奇異矩陣沒有逆矩陣。當行列式為0或者約等於0時，我們就說矩陣的狀況不是很好。不存在逆矩陣。

對矩陣進行檢查：

>> A = [ 1 2 3; 2 4.0001 6; 9 8 7];  cond(A) 

ans =

   4.3483e+05

>> B = [ 1 2 3; 2 5 6; 9 8 7]; cond(B)

ans =

   45.5623

可以看出B矩陣的情況更好些。

二、線性系統

Linear System

給定一個線性方程：

Eigenvalues and Eigenvectors（特徵值和特徵矩陣）：

Interpretation of Eigenvalues and Eigenvectors（特徵值和特徵向量的求解）：

Solving Eigenvalues and Eigenvectors ：

使用matlab函式求解特徵值和特徵向量：eig（）

>> [v,d]=eig([2 -12;1 -5])

v =

    0.9701    0.9487
    0.2425    0.3162


d =

    -1     0

Matrix Exponential（矩陣的指數）: expm()   ？

一個典型的線性時不變系統通常被表述為：

A = [0 -6 -1; 6 2 -16; -5 20 -10]; 
x0 = [1 1 1]';  X = []; 
for t = 0:.01:1 
    X = [X expm(t*A)*x0]; 
end
plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),'-o'); 
xlabel('x_1');  ylabel('x_2'); zlabel('x_3');  
grid on;  
axis tight square