資料結構之樹與二叉樹（下）
上面兩篇我們瞭解了樹的基本概念以及二叉樹的遍歷演算法，還對二叉查詢樹進行了模擬實現。數學表示式求值是程式設計語言編譯中的一個基本問題，表示式求值是棧應用的一個典型案例，表示式分為字首、中綴和字尾三種形式。這裡，我們通過一個四則運算的應用場景，藉助二叉樹來幫助求解表示式的值。首先，將表示式轉換為二叉樹，然後通過先序遍歷二叉樹的方式求出表示式的值。
一、二叉樹如何表示四則運算
1.1 表示式轉換為二叉樹
上圖是表示式“3+2*9-16/4”轉換成的二叉樹，觀察表示式，可以看出：
（1）運算元都是葉子節點；
（2）運算子都是內部節點；
（3）優先運算的操作符都在樹下方，而相對優先順序較低的減法（根節點）運算則最後運算。
從上往下看，這棵二叉樹可以理解如下：
（1）要理解根節點"-"號的結果必須先計算出左子樹"+"和右子樹"/"號的結果。可以看，要想得到"+"號的結果，又必須先計算其右子樹"*"號的結果；
（2）"*"號左右孩子是數字，可以直接計算，2*9=18。接下來計算"+"號，3+18=21，即根節點的左子樹結果為21；
（3）"/"號左右孩子是數字，可以直接計算，16/4=4。於是，根節點的右子樹結果為4。
（4）最後計算根節點的"-"號，21-4=17，於是得出了該表示式的值為17。
1.2 二叉表示式樹的構造過程解析
從上面的解析過程可以看出，這是一個遞迴的過程，正好可以用二叉樹先序遍歷的方法進行計算。下面我們來一步一步地通過圖示來演示一下表達式"3+2*9-16/4"解析生成二叉樹的過程。
（1）首先獲取表示式的第一個字元“3”，由於表示式樹目前還是一棵空樹，所以3成為根節點；
（2）獲取第二個字元“+”，此時表示式樹根節點為數字，需要將新節點作為根節點，原根節點作為新根節點的左孩子。這裡需要注意的是：只有第二個節點會出現這樣的可能，因為之後的根節點必定為操作符；
（3）獲取第三個字元“2”，數字將沿著根節點右鏈插入到最右端；
（4）獲取第四個字元“*”，如果判斷到是操作符，則將與根節點比較優先順序，如果新節點的優先順序高則插入成為根節點的右孩子，而原根節點的右孩子則成為新節點的左子樹；
（5）獲取第五個字元“9”，數字將沿著根節點右鏈插入到最右端；
（6）獲取第六個字元“-”，“-”與根節點“+”比較運算子的優先順序，優先順序相等則新節點成為根節點，原表示式樹則成為新節點的左子樹；
（7）獲取第7與第8個字元組合為數字16，沿著根節點右鏈插入到最右端；
（8）獲取第九個字元“/”，與根節點比較運算子的優先順序，優先順序高則成為根節點的右孩子，原根節點右子樹則成為新節點的左子樹；
（9）獲取第十個字元“4”，還是沿著根節點右鏈查到最右端。至此，運算表示式已全部遍歷，一棵表示式樹就已經建立完成。
SUMMARY：從以上過程中我們可以將表示式樹的建立演算法歸結如下
①第一個節點先成為表示式樹的根；
②第二個節點插入時變為根節點，原根節點變為新節點的左孩子；
③插入節點為數字時，沿著根節點右鏈插入到最右端；
④插入節點為操作符時，先跟根節點操作符進行對比，分兩種情況進行處理：
一是當優先順序不高時，新節點成為根節點，原表示式樹成為新節點的左子樹；【如上面的步驟（6）】
二是當優先順序較高時，新節點成為根節點右孩子，原根節點右子樹成為新節點的左子樹。【如上面的步驟（8）】
二、二叉表示式樹的模擬實現
2.1 二叉表示式樹節點的定義
private class Node
{
private bool _isOptr;
public bool IsOptr
{
get { return _isOptr; }
set { _isOptr = value; }
}
private int _data;
public int Data
{
get { return _data; }
set { _data = value; }
}
private Node _left;
public Node Left
{
get { return _left; }
set { _left = value; }
}
private Node _right;
public Node Right
{
get { return _right; }
set { _right = value; }
}
public Node(int data)
{
this._data = data;
this._isOptr = false;
}
public Node(char optr)
{
this._isOptr = true;
this._data = optr;
}
public override string ToString()
{
if (this._isOptr)
{
return Convert.ToString((char)this._data);
}
else
{
return this._data.ToString();
}
}
}
與普通二叉樹節點定義不同，這裡新增了一個isOptr標誌，來判斷該節點是數字節點還是運算子節點；
2.2 二叉表示式樹的建立實現
private Node CreateTree()
{
Node head = null;
while(_pos < _expression.Length)
{
Node node = GetNode(); // 將當前解析字元轉換為節點
if(head == null)
{
head = node;
}
else if (head.IsOptr == false) // 根節點為數字，當前節點為根，原根節點變為左孩子
{
node.Left = head;
head = node;
}
else if (node.IsOptr == false) // 如果當前節點是數字
{
// 當前節點沿右路插入最右邊成為右孩子
Node tempNode = head;
while(tempNode.Right != null)
{
tempNode = tempNode.Right;
}
tempNode.Right = node;
}
else // 如果當前節點是運算子
{
if (GetPriority((char)node.Data) <= GetPriority((char)head.Data)) // 優先順序低則成為根，原二叉樹成為插入節點的左子樹
{
node.Left = head;
head = node;
}
else // 優先順序高則成為根節點的右子樹，原右子樹成為插入節點的左子樹
{
node.Left = head.Right;
head.Right = node;
}
}
}
return head;
}
這裡按照我們在上面所歸納的建立過程演算法進行了實現，程式碼中的註釋已經比較完善，這裡就不再贅述。
2.3 二叉表示式的先序遍歷計算運算結果實現
// 先序遍歷進行表示式求值
private int PreOrderCalc(Node node)
{
int num1, num2;
if (node.IsOptr)
{
// 遞迴先序遍歷計算num1
num1 = PreOrderCalc(node.Left);
// 遞迴先序遍歷計算num2
num2 = PreOrderCalc(node.Right);
char optr = (char)node.Data;
switch (optr)
{
case '+':
node.Data = num1 + num2;
break;
case '-':
node.Data = num1 - num2;
break;
case '*':
node.Data = num1 * num2;
break;
case '/':
if (num2 == 0)
{
throw new DivideByZeroException("除數不能為0！");
}
node.Data = num1 / num2;
break;
}
}
return node.Data;
}
這裡通過遞迴地進行先序遍歷，也就是求得根節點（運算子）的兩個子樹的值，最後再通過對這兩個值進行根節點運算子的計算得到最終的結果。
2.4 四則運算執行結果
由於本表示式樹的設計較為簡單，沒有考慮到帶括號的情形，因此這裡只用不帶括號的表示式進行檢視，執行結果如下圖所示：
（1）3+2*9-16/4
（2）4*5-16/4+2*9
附件下載
參考資料
（1）陳廣，《資料結構（C#語言描述）》
（3）zhx6044，《棧和二叉樹的使用》
（4）zero516cn，《算術表示式—二叉樹》
作者：周旭龍
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