分治法時間複雜度求解祕籍

本文來自快速入門演算法書——《趣學演算法》

        分治法的道理非常簡單，就是把一個大的複雜的問題分為a(a>1)個形式相同的子問題，這些子問題的規模為n/b，如果分解或者合併的複雜度為f(n)，那麼總的時間複雜度可以表示為：

     那麼如何求解時間複雜度呢？

1. 遞推求解法

   我們上面的求解方式都是遞推求解，寫出其遞推式，最後求出結果。

   例如：合併排序演算法的時間複雜度遞推求解：

   
   

   
   

2. 遞迴樹求解法

   遞迴樹求解方式其實和遞推求解一樣，只是遞迴樹更清楚直觀的顯示出來，更能夠形象的表達每層分解的結點和每層產生的成本有多少。例如：

   如圖3-67所示。

   
   

   圖3-67 分治遞迴樹

   

3. 大師解法

• 我們用遞迴樹來說明大師解法：

• 如圖3-68所示。

1. 
   

   圖3-68大師解法遞迴樹

   

   時間複雜度=葉子數*T(1)+成本和

   

   

   時間複雜度=成本和。

   現在我們只需要觀察每層產生的成本的發展趨勢，是遞減的還是遞增的，還是每層都一樣？每層成本的公比為。     

• 
• 例如：
• 
• 畫出遞迴樹，觀察每層產生的成本：

成本的公比小於1，時間複雜度按第1層計算；

成本的公比大於1，時間複雜度按最後1層計算；

成本的公比等於

大師解法：

遞迴樹如圖3-69所示。

圖3-69 大師解法遞迴樹

    首先從遞迴樹中觀察每層產生的成本發展趨勢，每層的成本有時不是那麼有規律，需要仔細驗證才行。比如我們得到第3層是(5/16)²n²，需要驗證第4層是(5/16)³n²，…。經過驗證，我們發現每層成本是一個等比數列，公比為5/16<1，呈遞減趨勢，那麼只需要計算第一項即可。時間複雜度：T(n) =O(n²)。