1.0 資料結構的相關概念

2.0 一些基本演算法的時間複雜度

O(1)：

int x=1;

O(n)：

for(int i = 0; i < n; i++){
    printf("%d",i);
}

O(log₂n)：

int n = 8,count = 0;
for(int i = 1; i <= n; i*=2){
    count++;
}

O(n²)：

int n = 8,count = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int j = 1;  j <= n; j++){
        count
 
++;
    }
}

O(nlog₂n)：

int n = 8,count = 0;
for(int i = 1; i <= n; i*=2){
    for(int j = 1;  j <= n; j++){
        count++;
    }
}

2.1 求解時間複雜度的基本步驟

（1）找出演算法中的基本語句：演算法中執行次數最多的，通常是內層迴圈的迴圈體； （2）計算基本語句的執行次數的數量級； （3）用大O記號表示演算法的時間效能，將基本語句執行次數的數量級放入大O記號中。

2.1.0 例題解析

eg1：

#include <stdio.h>
 


int main(){
    int i, j, x = 0, sum = 0, n = 100;      //執行了1次
    for( i = 1; i <= n; i++){               //執行了n+1次
        sum = sum +i;                       //執行了n次
        for(j = 1; j <= n; j++){            //執行了n*(n+1)次
            x++;                            //執行了n*n次
            sum =sum + x;                   //執行了n*n次
 

        }
    }
    printf("%d",sum);                       //執行了1次
}

很顯然，一共執行了 1+(n+1)+n+n*(n+1)+ n* n +n*n =3n² +3n +2次，去掉常數，保留最高階，化最高階係數為1，得到數量級O（n²)。即時間複雜度為：T（n）=O（n²）。

eg2：計算 1+2+3+4+······+100

#include <stdio.h>

int main(){
    int i , sum = 0,n = 100;        //執行了1次
    for(i = 1; i <= n; i++){        //執行了n+1次
        sum +=i;                    //執行了n次
    }
    printf("%d",sum);               //執行了1次
}

顯然的，演算法所用時間（語句執行頻度）為：1+n+1+n+1 = 2n+3次，故時間複雜度為：O（n）。

eg3：計算 1+2+3+4+······+100 （高斯演算法）

#include <stdio.h>

int main(){
    int sum = 0, n = 100;           //執行了1次
    sum =(1+n)*n/2;                 //執行了1次
    printf("%d",sum);               //執行了1次
}

時間複雜度為：O（3），記為O（1）。

eg4： 求兩個n階方陣C=A * B的乘積，演算法如下

void MatrixMultiply(int A[n][n], int B[n][n], int C[n][n]){
    for(int i = 0; i < n; i++){                         //執行了n+1次
        for(j = 0; j < n; j++){                         //執行了n*(n+1)次
            C[i][j] = 0;                                //執行了n^2^次
            for(k = 0; k < n; k++){                     //執行了n^2^*(n+1)次
                C[i][j] = C[i][j] + A[i][k] *B[k][j];    //執行了n^3^次
            }
        }
    }
}

則T（n）=2n³+3n²+2n+1，故時間複雜度為O（n³）。

eg5：

void test(int n){
    i = 1,k = 100;
    while(i < n){
        k = k+1;
        i = i+2;
    }
}

==求解步驟：==

假設迴圈體執行了T（n）次，
當迴圈體（i=i+2）執行了1次時，i = 1 + 2;
當迴圈體（i=i+2）執行了2次時，i = 2 + 2;
``````
以此類推，很顯然，i =2T(n) +1，又迴圈條件為 i < n，
即 2T(n) +1 <= n-1，解得T(n) <= n/2 -1，故時間複雜度為O(n)。

2.1.1 常見時間複雜及其效率高低比較（由高到低）

O(1) > O(logn) > O(n) > O(nlogn) > O(n²) > O(n³) > O(2ⁿ) > O(n!) > O(nⁿ)。如果你設計的演算法時間複雜度為O(2ⁿ)以後的，那麼你必須修改你的演算法了。很顯然，常數階（O(1)）效率最高，比如高斯演算法。

3.0 總結

資料結構與演算法是計算機專業必修課程，也是計算機專業考研的重點，更是一個程式設計師必備技能，必須學好。

參考：隨心而碼 紫羅蘭