本內容來源於本人著作《趣學演算法》，線上章節：http://www.epubit.com.cn/book/details/4825

校園網是為學校師生提供資源共享、資訊交流和協同工作的計算機網路。校園網是一個寬頻、具有互動功能和專業性很強的區域網絡。如果一所學校包括多個學院及部門，也可以形成多個區域網絡，並通過有線或無線方式連線起來。原來的網路系統只侷限於以學院、圖書館為單位的區域網，不能形成集中管理以及各種資源的共享，個別學院還遠離大學本部，這些情況嚴重地阻礙了整個學校的網路化需求。現在需要設計網路電纜佈線，將各個單位的區域網絡連通起來，如何設計能夠使費用最少呢？

圖2-58　校園網路

2.7.1　問題分析

某學校下設10個學院，3個研究所，1個大型圖書館，4個實驗室。其中，1～10號節點代表10個學院，11～13號節點代表3個研究所，14號節點代表圖書館，15～18號節點代表4個實驗室。該問題用無向連通圖G =（V，E）來表示通訊網路，V表示頂點集，E表示邊集。把各個單位抽象為圖中的頂點，頂點與頂點之間的邊表示單位之間的通訊網路，邊的權值表示佈線的費用。如果兩個節點之間沒有連線，代表這兩個單位之間不能佈線，費用為無窮大。如圖2-59所示。

圖2-59　校園網連通圖

那麼我們如何設計網路電纜佈線，將各個單位連通起來，並且費用最少呢？

對於n

個頂點的連通圖，只需n−1條邊就可以使這個圖連通，n−1條邊要想保證圖連通，就必須不含迴路，所以我們只需要找出n−1條權值最小且無迴路的邊即可。

需要說明幾個概念。

（1）子圖：從原圖中選中一些頂點和邊組成的圖，稱為原圖的子圖。

（2）生成子圖：選中一些邊和所有頂點組成的圖，稱為原圖的生成子圖。

（3）生成樹：如果生成子圖恰好是一棵樹，則稱為生成樹。

（4）最小生成樹：權值之和最小的生成樹，則稱為最小生成樹。

本題就是最小生成樹求解問題。

2.7.2　演算法設計

找出n−1條權值最小的邊很容易，那麼怎麼保證無迴路呢?

如果在一個圖中深度搜索或廣度搜索有沒有迴路，是一件繁重的工作。有一個很好的辦法——避圈法

。在生成樹的過程中，我們把已經在生成樹中的結點看作一個集合，把剩下的結點看作另一個集合，從連線兩個集合的邊中選擇一條權值最小的邊即可。

首先任選一個結點，例如1號結點，把它放在集合U中，U={1}，那麼剩下的結點即V−U={2，3，4，5，6，7}，V是圖的所有頂點集合。如圖2-60所示。

圖2-60　最小生成樹求解過程

現在只需在連線兩個集合（V和V−U）的邊中看哪一條邊權值最小，把權值最小的邊關聯的結點加入到集合U。從圖2-68可以看出，連線兩個集合的3條邊中，結點1到結點2的邊權值最小，選中此條邊，把2號結點加入U集合U={1，2}，V−U={3，4，5，6，7}。

再從連線兩個集合（V和V−U）的邊中選擇一條權值最小的邊。從圖2-61可以看出，連線兩個集合的4條邊中，結點2到結點7的邊權值最小，選中此條邊，把7號結點加入U集合U={1，2，7}，V−U={3，4，5，6}。

圖2-61　最小生成樹求解過程

如此下去，直到U=V結束，選中的邊和所有的結點組成的圖就是最小生成樹。

是不是非常簡單啊？

這就是Prim演算法，1957年由美國電腦科學家Robert C.Prim發現的。那麼如何用演算法來實現呢？

首先，令U={u0}，u0∈V，TE={}。u0可以是任何一個結點，因為最小生成樹包含所有結點，所以從哪個結點出發都可以得到最小生成樹，不影響最終結果。TE為選中的邊集。

然後，做如下貪心選擇：選取連線U和V−U的所有邊中的最短邊，即滿足條件i∈U，j∈V−U，且邊（i，j）是連線U和V−U的所有邊中的最短邊，即該邊的權值最小。

然後，將頂點j加入集合U，邊（i，j）加入TE。繼續上面的貪心選擇一直進行到U=V為止，此時，選取到的所有邊恰好構成圖G的一棵最小生成樹T。

演算法設計及步驟如下。

步驟1：確定合適的資料結構。設定帶權鄰接矩陣C儲存圖G，如果圖G中存在邊（u，x），令C[u][x]等於邊（u，x）上的權值，否則，C[u][x]=∞；bool陣列s[]，如果s[i]=true，說明頂點i已加入集合U。

如圖2-62所示，直觀地看圖很容易找出 U 集合到 V−U集合的邊中哪條邊是最小的，但是程式中如果窮舉這些邊，再找最小值就太麻煩了，那怎麼辦呢？

圖2-62　最小生成樹求解過程

可以通過設定兩個陣列巧妙地解決這個問題，closest[j]表示V−U中的頂點j到集合U中的最鄰近點，lowcost[j]表示V−U中的頂點j到集合U中的最鄰近點的邊值，即邊（j,closest[j]）的權值。

例如，在圖2-62中，7號結點到U集合中的最鄰近點是2，closest[7]=2，如圖2-63所示。7號結點到最鄰近點2的邊值為1，即邊（2，7）的權值，記為lowcost[7]=1，如圖2-64所示。

圖2-63　closest[]陣列

圖2-64　lowcost[]陣列

只需要在V−U集合中找lowcost[]值最小的頂點即可。

步驟2：初始化。令集合U={u0}，u0∈V，並初始化陣列closest[]、lowcost[]和s[]。

步驟3：在V−U集合中找lowcost值最小的頂點t，即lowcost[t]=min{lowcost[j]|j∈V−U}，滿足該公式的頂點t就是集合V−U中連線集合U的最鄰近點。

步驟4：將頂點t加入集合U。

步驟5：如果集合V−U為空，演算法結束，否則，轉步驟6。

步驟6：對集合V−U中的所有頂點j，更新其lowcost[]和closest[]。更新公式：if（C[t] [j]<lowcost [j] ) { lowcost [j]= C [t] [j]; closest [j] = t; }，轉步驟3。

按照上述步驟，最終可以得到一棵權值之和最小的生成樹。

2.7.3　完美圖解

設G =（V，E）是無向連通帶權圖，如圖2-65所示。

圖2-65　無向連通帶權圖G

（1）資料結構

設定地圖的帶權鄰接矩陣為C[][]，即如果從頂點i到頂點j有邊，就讓C[i][j]=<i，j>的權值，否則C[i][j]=∞（無窮大），如圖2-66所示。

圖2-66　鄰接矩陣C[ ][ ]

（2）初始化

假設u0=1；令集合U={1}，V−U={2，3，4，5，6，7}，TE={}，s[1]=true，初始化陣列closest[]：除了1號結點外其餘結點均為1，表示V−U中的頂點到集合U的最臨近點均為1，如圖2-67所示。lowcost[]：1號結點到V−U中的頂點的邊值，即讀取鄰接矩陣第1行，如圖2-68所示。

圖2-67　closest[]陣列

圖2-68　lowcost[]陣列

初始化後如圖2-69所示。

圖2-69　最小生成樹求解過程

（3）找最小

在集合V−U={2，3，4，5，6，7}中，依照貪心策略尋找V−U集合中lowcost最小的頂點t，如圖2-70所示。

圖2-70　lowcost[]陣列

找到最小值為23，對應的結點t=2。

選中的邊和結點如圖2-71所示。

圖2-71　最小生成樹求解過程

（4）加入U戰隊

將頂點t加入集合U={1，2}，同時更新V−U={3，4，5，6，7}。

（5）更新

剛剛找到了到U集合的最鄰近點t = 2，那麼對t在集合V−U中每一個鄰接點j，都可以藉助t更新。我們從圖或鄰接矩陣可以看出，2號結點的鄰接點是3和7號結點：

C[2][3]=20<lowcost[3]=∞，更新最鄰近距離lowcost[3]=20，最鄰近點closest[3]=2；

C[2][7]=1<lowcost[7]=36，更新最鄰近距離lowcost[7]=1，最鄰近點closest[7]=2；

更新後的closest[j]和lowcost[j]陣列如圖2-72和圖2-73所示。

圖2-72　closest[]陣列

圖2-73　lowcost[]陣列

更新後如圖2-74所示。

圖2-74　最小生成樹求解過程

closest[j]和lowcost[j]分別表示V−U集合中頂點j到U集合的最鄰近頂點和最鄰近距離。3號頂點到U集合的最鄰近點為2，最鄰近距離為20；4、5號頂點到U集合的最鄰近點仍為初始化狀態1，最鄰近距離為∞；6號頂點到U集合的最鄰近點為1，最鄰近距離為28；7號頂點到U集合的最鄰近點為2，最鄰近距離為1。

（6）找最小

在集合V−U={3，4，5，6，7}中，依照貪心策略尋找V−U集合中lowcost最小的頂點t，如圖2-75所示。

圖2-75　lowcost[]陣列

找到最小值為1，對應的結點t=7。

選中的邊和結點如圖2-76所示。

圖2-76　最小生成樹求解過程

（7）加入U戰隊

將頂點t加入集合U={1，2，7}，同時更新V−U={3，4，5，6}。

（8）更新

剛剛找到了到U集合的最鄰近點t =7，那麼對t在集合V−U中每一個鄰接點j，都可以借t更新。我們從圖或鄰接矩陣可以看出，7號結點在集合V−U中的鄰接點是3、4、5、6結點：

C[7][3]=4<lowcost[3]=20，更新最鄰近距離lowcost[3]=4，最鄰近點closest[3]=7；

C[7][4]=9<lowcost[4]=∞，更新最鄰近距離lowcost[4]=9，最鄰近點closest[4]=7；

C[7][5]=16<lowcost[5]=∞，更新最鄰近距離lowcost[5]=16，最鄰近點closest[5]=7；

C[7][6]=25<lowcost[6]=28，更新最鄰近距離lowcost[6]=25，最鄰近點closest[6]=7；

更新後的closest[j]和lowcost[j]陣列如圖2-77和圖2-78所示。

圖2-77　closest[]陣列

圖2-78　lowcost[]陣列

更新後如圖2-79所示。

圖2-79　最小生成樹求解過程

closest[j]和lowcost[j]分別表示V−U集合中頂點j到U集合的最鄰近頂點和最鄰近距離。3號頂點到U集合的最鄰近點為7，最鄰近距離為4；4號頂點到U集合的最鄰近點為7，最鄰近距離為9；5號頂點到U集合的最鄰近點為7，最鄰近距離為16；6號頂點到U集合的最鄰近點為7，最鄰近距離為25。

（9）找最小

在集合V−U={3，4，5，6}中，依照貪心策略尋找V−U集合中lowcost最小的頂點t，如圖2-80所示。

圖2-80　lowcost[]陣列

找到最小值為4，對應的結點t=3。

選中的邊和結點如圖2-81所示。

圖2-81　最小生成樹求解過程

（10）加入U戰隊

將頂點t加入集合U ={1，2，3，7}，同時更新V−U={4，5，6}。

（11）更新

剛剛找到了到U集合的最鄰近點t =3，那麼對t在集合V−U中每一個鄰接點j，都可以藉助t更新。我們從圖或鄰接矩陣可以看出，3號結點在集合V−U中的鄰接點是4號結點：

C[3][4]=15>lowcost[4]=9，不更新。

closest[j]和lowcost[j]陣列不改變。

更新後如圖2-82所示。

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