一、小波介紹概括（來源於百度）    

       傳統的訊號理論，是建立在Fourier分析基礎上的，而Fourier變換作為一種全域性性的變化，其有一定的侷限性，如不具備區域性化分析能力、不能分析非平穩訊號等。在實際應用中人們開始對Fourier變換進行各種改進，以改善這種侷限性，如STFT(短時傅立葉變換)。由於STFT採用的的滑動窗函式一經選定就固定不變，故決定了其時頻解析度固定不變，不具備自適應能力，而小波分析很好的解決了這個問題。小波分析是一種新興的數學分支，它是泛函數、Fourier分析、調和分析、數值分析的最完美的結晶;在應用領域，特別是在訊號處理、影象處理、語音處理以及眾多

非線性科學領域，它被認為是繼Fourier分析之後的又一有效的時頻分析方法。小波變換與Fourier變換相比，是一個時間和頻域的局域變換因而能有效地從訊號中提取資訊，通過伸縮和平移等運算功能對函式或訊號進行多尺度細化分析(Multiscale Analysis)，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。

       與Fourier變換相比，小波變換是空間(時間)和頻率的區域性變換，因而能有效地從訊號中提取資訊。通過伸縮和平移等運算功能可對函式或訊號進行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯絡了應用數學、物理學、電腦科學、訊號與資訊處理、影象處理、地震勘探等多個學科。數學家認為，小波分析是一個新的數學分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣條分析、數值分析的完美結晶;訊號和資訊處理專家認為，小波分析是時間-

尺度分析和多分辨分析的一種新技術，它在訊號分析、語音合成、影象識別、計算機視覺、資料壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學意義和應用價值的成果。訊號分析的主要目的是尋找一種簡單有效的訊號變換方法，使訊號所包含的重要資訊能顯現出來。小波分析屬於訊號時頻分析的一種，在小波分析出現之前，傅立葉變換是訊號處理領域應用最廣泛、效果最好的一種分析手段。傅立葉變換是時域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅立葉變換的實質是把這個波形分解成不同頻率的正弦波的疊加和。正是傅立葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅立葉變換在訊號分析和訊號處理中的獨特地位。傅立葉變換用在兩個方向上都無限伸展的正弦曲線

波作為正交基函式，把周期函式展成傅立葉級數，把非周期函式展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對函式作頻譜分析，反映了整個訊號的時間頻譜特性，較好地揭示了平穩訊號的特徵。  

        小波變換是一種新的變換分析方法，它繼承和發展了短時傅立葉變換區域性化的思想，同時又克服了視窗大小不隨頻率變化等缺點，能夠提供一個隨頻率改變的"時間-頻率"視窗，是進行訊號時頻分析和處理的理想工具。它的主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特徵，因此，小波變換在許多領域都得到了成功的應用，特別是小波變換的離散數字演算法已被廣泛用於許多問題的變換研究中。從此，小波變換越來越引起人們的重視，其應用領域來越來越廣泛。

       由於傅立葉變換隻能獲取一段訊號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現的時刻並無所知。因此，對時域部分進行了加窗，將它等分成若干小份。像下面這樣：

          時域上分成一段一段做FFT。則它的時頻圖可以變成下面這樣，可以看到它的頻域和時間結合起來了：

       但是依然存在的問題是，太寬或者太窄都不行，窗太窄，窗內的訊號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率解析度差。窗太寬，時域上又不夠精細，時間解析度低。視窗尺寸的選擇是我們需要考慮的。窄視窗時間解析度高、頻率解析度低，寬視窗時間解析度低、頻率解析度高。高頻適合小視窗，低頻適合大視窗。而一張圖裡面可能高頻低頻都會有，也就是我們需要視窗的尺寸是能變化的，有人說可以多用幾次短時傅立葉變換，每次的視窗尺寸不一樣就可以了。這是一種思路，但是存在的問題是短時傅立葉冗餘太嚴重，做不到正交化。這時候小波出現了，與傅立葉變化不同的是，它將無限長的三角函式基換成了有限長的會衰減的小波基。像這樣：

       相對於傅立葉函式的只有一個w引數，小波有尺度引數a，平移引數，其中a與頻率成反比，代表了時間引數，這裡的尺度引數a可以對應我們剛剛所說的視窗尺寸了，尺度大則低頻，尺度小則高頻，也符合上面說的要求。所以小波變換既有頻域量又有時域量在裡面。它的圖可以如下圖所示：

所有訊號空間都可以表示成這個樣子：

三、優點及應用

從影象處理的角度看，小波變換存在以下幾個優點:

⑴小波分解可以覆蓋整個頻域(提供了一個數學上完備的描述)

⑵小波變換通過選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特徵之間的相關性

⑶小波變換具有"變焦"特性，在低頻段可用高頻率解析度和低時間解析度(寬分析視窗)，在高頻段，可用低頻率解析度和高時間解析度(窄分析視窗)

⑷小波變換實現上有快速演算法(Mallat小波分解演算法)

小波變換是把訊號分解成一系列的小波（經過原始小波伸縮和平移得到的）。對於影象，要知道量化級數決定了影象的解析度，量化級數越高，影象越是清晰，影象的解析度就高。小波具體的影象處理操作可以用來進行影象分解、影象去噪、影象邊緣檢測。