本文根據《Improved Zhang neural network with finite-time convergence for time-varying linear system of equations solving 》做的總結。

該論文提出了一個改進的張神經網路(IZNN)有限時間收斂時變線性方程組求解，這種神經網路由一系列連續符號雙功率(SBP)函式啟用。

基於梯度神經網路(GNN)可以實時解決常數（靜態、時不變）線性方程組問題。GNN是為求解靜態(時不變)問題而設計的，一般不能用於求解時變問題。無限時間收斂；

原始張神經網路(OZNN)可以解決時變和時不變的矩陣問題，包括線性方程組問題。OZNN及其變體被視為第一個關於時變問題求解的系統研究。無限時間收斂；

新型別的張神經網路(NTZNN)採用一個signum啟用函式陣列，有限時間收斂；但由於signum函式是不連續函式，所以NTZNN合成的解可能在平衡點附近震盪一定程度。與之不同的是，我們提出IZNN產生的解能夠很好的收斂到理論解，不震盪。

時變線性方程組問題公式：

OZNN（無限時間收斂）

1. 構造一個向量值誤差函式：

2. 使e(t)向0接近：

k>0表示收斂引數，φ(·)表示啟用函式，以下是OZNN的兩種啟用函式：

  ε≥2, p≥ 3

1. 將（2）式求導代入

對於使用上述兩個啟用函式的OZNN模型，給出以下結果以保證其收斂性.

命題1.給定時變和可逆矩陣A（t），通過採用線性啟用函式，無論初始條件x（0）∈Rn是什麼，OZNN模型的神經狀態x（t）∈Rn， 將指數(無限時間）收斂（收斂率為κ）到線性方程組（1）的理論解x *（t）= A-1（t）b（t）。 此外，如果採用power-Sigmoid啟用功能，與線性情況相比可以實現優越的收斂效能。

NTZNN（有限時間收斂）

SGN（·）：Rn→Rn是向量值啟用函式陣列

命題2.給定時變和可逆矩陣A（t），無論初始條件x（0）∈Rn是什麼，NTZNN模型（4）的神經狀態x（t）∈Rn將收斂於理論解 x *（t）=在有限時間內的線性方程組（1）的A-1（t）b（t）。

IZNN

SBP代表向量形式的非線性啟用函式

引數q ∈ (0, 1)

定理1.給定時變和可逆矩陣A（t），無論初始條件x（0）∈Rn是什麼，IZNN（6）的神經狀態x（t）∈Rn將收斂到理論解x * （t）=有限時間內的線性方程組（1）的A-1（t）b（t）

其中e +（0）和e-（0）分別表示初始誤差向量e（0）= A（0）x（0） - b（0）

的最大和最小項。

證明：鑑於e（t）= A（t）x（t）-b（t），我們有e˙（t）=A˙（t）x（t）+ A（t）x˙（t） - b˙（t）。 將e（t）和e˙（t）代入（6）：

這說明e(t)在時間段之後收斂為0，

當e-(t) 等於0，e-(t) 等於0

當 e+(t)等於0， e+(t)等於0。

t+ f 、t- f 表示e+(t)、e−(t)的收斂時間

結論：

NTZNN（4）可以寫成在不失一般性的情況下，假設ei（t）的初始值ei（0）大於零，即，ei(0) > 0.因此，上面的等式減少到：

這意味著ei（t）將以絕對速度κ向零值移動。因此，在某個時刻tc1，ei（tc1）= 0.根據sgn函式（5）的定義，ei（t）的速度（即˙ei（t））在瞬間TC1應為零。然而，考慮到˙ei（tc1 - 0）= - κ和ei（t）的慣性，這在模擬和實踐中不會立即發生，這意味著ei（t）通過零值並繼續沿著原始方向（即下降方向）持續一段時間，然後向後移回零值（鑑於此時間段內的ei（t）<0和˙ei（t）=κ> 0）。在另一時刻tc2，ei（tc2）= 0。出於同樣的原因，ei（t）通過零值並繼續移動（沿著增加的方向）。這種情況可能會持續數次，這表明NTZNN（4）產生的解決方案將在平衡點附近振盪一定程度。而對於IZNN（6），採用的sbp函式是連續的，因此不會發生上述振盪現象。