線性代數一（基本概念）
一、線性代數基本知識：
1、線性：
數乘運算與加法運算 呈現 線性。
2、
二、向量：
1、向量的表示方法：
其中的 i、j、k是座標軸方向的單位向量。
2、向量的模：
用座標計算的方法：
3、向量的運算：
（1）向量的加法減法：
（2）向量的數乘：
拉格朗日乘數法的 基礎 公式。
（3）向量的數量積（點積、內積）：
（4）向量的的向量積（外積、叉積）：
（5）正交向量：
三、矩陣基本知識：
- 理解：矩陣是一個向量組，由許多 行向量 和 縱向量 組成。
- 矩陣方程求解 用增廣矩陣初等變換化為 E 。齊次/非齊次方程組 的解用 初等變化 化為 行最簡階梯型。
- 初步認為由多元一次方程組的係數組成（區別於矩陣初等變換求解矩陣方程）。矩陣是一種線性變換，可以將一些向量轉化為另一種向量。
2、矩陣的直觀感受：
3、矩陣與向量：
理解：A（m*n）每一行 或者 每一列 都屬於 向量。
四、矩陣的分類：
1、相等矩陣：
①矩陣的形狀相同（行數的列數）
②對應元素相同。
2、同形矩陣：
矩陣的形狀相同。
3、方陣：
只有方陣才具有對角線。
矩陣A中 m = n，稱之為方陣。
4、負矩陣、上三角矩陣、下三角矩陣：
5、對角矩陣：是方陣
1、對角矩陣的展示：可以用 上尖角 符號表示，如下：
2、對角矩陣的跡： trA
7、單位矩陣：常常用 E或I 來表示。它是一個方陣。
特性：A * E = A （A的列 = E 的行數）任何 矩陣 * 單位矩陣都是它本身。
8、零矩陣：
記號用 0 來表示。
9、對稱矩陣：方陣
注意：對稱矩陣一定是方陣（只有方陣才有對角線）。
五、矩陣的運算：
1、矩陣的加減：
前提：兩個矩陣必須是同形矩陣。
矩陣加減具有交換律，矩陣矩陣相乘沒有交換律。
計算結果：元素級運算。
2、矩陣的數乘：
計算結果：元素級運算。這裡要區別與行列式的數乘。
3、矩陣與向量的乘法：
前提：矩陣的列數等於向量的行數。
計算方式：左行 * 右列 對應元素乘積的和。
4、矩陣與矩陣的乘法：
得到的新矩陣由 左行右列 決定 行與列。即：（m*n）* (n*s) >>>> (m*s)
- 注意：矩陣與矩陣的乘法中沒有交換律： AB != BA（A B 互逆除外 ）
- 當A逆矩陣存在時時：AC = AD >>>>> C = D 原因：並不是消去律，而是兩邊同時 乘上 A的逆矩陣化簡。
5、矩陣的轉置：
理解：對角線翻轉。
轉置的性質：
六、行列式基本知識：
1、行列式的特性：
理解：矩陣的一種運算方式。
①行列式一定是個方陣。
2、行列式的計算方法：
定義：所有不同行不同列的元素組合乘積的和。
（1）通過行列式的定義去計算：對角法則。
①逆序數的概念：t
（2）利用行列式的性質將行列式轉化為上三角行列式：
轉化時：從下到下，從左向右。
①行列式的性質 ：
性質一：
性質二：行列式的數乘（一定要區別於矩陣的數乘）
性質三：行列式如果某一行或某一列與另一行或者另一列存在倍數或者相同，行列式的數值為零。
性質四：行列式之間的加法：
前提：①兩個行列式形狀相同。
②兩個行列式僅有一行或一列的元素不相同。
結果：相同元素覆蓋照抄，不同的行的元素對應相加。
性質五：
（3）根據某行或者某列的代數餘子式展開：
3、行列式餘子式和代數餘子式：
4、伴隨矩陣：
表示式結論：
A 是一個 n階 方陣。E 單位矩陣。該結果是一個對角矩陣，對角線的元素都是 | A | 的 值。
5、方陣的逆：只有方陣才有逆。
1、可逆矩陣的定義：
- 理解：可逆方陣 <<< >>> 可以初等變換為 E 即： AB = BA = E
- 可逆方陣 <<< >>> | A | != 0
2、方陣可逆的充要條件： 兩個條件等價。
①
② 矩陣行列式的值 | A | ！= 0 。
3、可逆方陣的性質：
4、n階方陣逆矩陣的計算：
第一種方法：
②第二種方法：
利用A 與 E 的增廣矩陣 的初等變換 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.. 求解出 A的逆矩陣。
七、矩陣的初等變換：
- 注意：矩陣換行與行列式換行不同（行列式的換行值的符號會發生變化）
- 矩陣的 初等列變換 與 初等行變換 統稱為初等變換。
- 可以通過 初等行變換 轉化為 E 的方陣為可逆方陣，否則為奇異矩陣。
矩陣初等變換的理解：線性方程組加減消元。
1、增廣矩陣：
記做： B = （A，b）
2、初等變換的性質：
2、矩陣初等變換的分類：
（1、普通的行階梯矩陣：
（2、行最簡形矩陣：
（3、標準形矩陣：
特性：
3、初等變換的定理：
其中： PA = B 是初等變化的 代數 表達形式。P是某個可逆方陣。
方陣可逆的充要條件：
4、初等變換的應用：
（1）利用初等行變換求解逆矩陣：
例：求解A 的逆矩陣：
思路：將A 與 E 建立 增廣矩陣 B ， B= （A，E） >>>>> 通過初等行變換 >>>>>> (E，P） P 就是A的 可逆矩陣：P * A = E。
（2）利用初等行變換求解方程組的解：
思路：類似上述求解逆矩陣的方法： 
解法：增廣矩陣：
