Description

小C是一個演算法競賽愛好者，有一天小C遇到了一個非常難的問題：求一個序列的最大子段和。 但是小C並不會做這個題，於是小C決定把序列隨機打亂，然後取序列的最大字首和作為答案。 小C是一個非常有自知之明的人，他知道自己的演算法完全不對，所以並不關心正確率，他只關心求出的解的期望值， 現在請你幫他解決這個問題，由於答案可能非常複雜，所以你只需要輸出答案乘上n!後對998244353取模的值，顯然這是個整數。 注：最大字首和的定義：i∈[1,n],Sigma(a _j)的最大值,其中1<=j<=i

Input

第一行一個正整數nnn，表示序列長度。 第二行n個數，表示原序列a[1..n]，第i個數表示a[i]。 1≤n≤20,Sigma(|Ai|)<=10^9,其中1<=i<=N

Output

輸出一個非負整數，表示答案。

Sample Input

2
-1 2

Sample Output

3

Solution

首先對於一個序列$[a_1,a_n]$，設最大字首和的位置為$p$，那麼序列$[a_{p+1},a_n]$的任意一個字首必須都$<=0$。否則的話你用最大字首和隨便加上$[a_{p+1},a_n]$中$>0$的一個字首就可以得到新的最大字首和。

預處理：

$sum[S]$表示集合$S$的數字和。

$f[S]$表示欽定集合$S$當最大字首的合法方案數。

$g[S]$表示集合$S$任意字首和$<=0$小於$0$的方案數。

那麼顯然$ans=\sum sum[S]\times f[S]\times g[S']$。其中$S'$是$S$的補集。

$sum$和$g$都是可以直接求的，那麼$f$呢？

可以發現，如果$sum[S]>0$，那麼把隨便一個數放到這個集合$S$的最前面，這個最大字首和仍然是可以保證合法的。

$ans$最後忘了取模$WA$了好幾發……心態崩了

Code

 1 #include<iostream>
 2
 
 #include<cstdio>
 3 #define N (21)
 4 #define MOD (998244353)
 5 using namespace std;
 6 
 7 int n,m,a[N],sum[1<<N],cnt[1<<N],f[1<<N],g[1<<N];
 8 
 9 int main()
10 {
11     scanf("%d",&n); m=(1<<n)-1;
12     for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",&a[i]);
13     for (int i=1; i<=n; ++i)
14         for (int S=0; S<=m; ++S)
15             if (S&(1<<i-1)) sum[S]+=a[i], cnt[S]++;
16             
17     for (int S=1; S<=m; ++S)
18     {
19         if (cnt[S]==1) {f[S]=1; continue;}
20         for (int i=1; i<=n; ++i)
21             if ((S&(1<<i-1)) && sum[S]-a[i]>0)
22                 (f[S]+=f[S^(1<<i-1)])%=MOD;
23     }
24     
25     g[0]=1;
26     for (int S=1; S<=m; ++S)
27     {
28         if (sum[S]>0) {g[S]=0; continue;}
29         if (cnt[S]==1) {g[S]=1; continue;}
30         for (int i=1; i<=n; ++i)
31             if (S&(1<<i-1))
32                 (g[S]+=g[S^(1<<i-1)])%=MOD;
33     }
34     int ans=0;
35     for (int S=1; S<=m; ++S)
36         (ans+=1ll*sum[S]*f[S]%MOD*g[m^S]%MOD)%=MOD;
37     ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
38     printf("%d\n",ans);
39 }