2. 程式人生 > >演算法課8-Dynamic Programming⭐️

演算法課8-Dynamic Programming⭐️

阿新 • • 發佈：2018-12-22

動態規劃是常考演算法，將指數級的問題降到多項式級別。

動態規劃和分治法都是將問題劃分成子問題進行求解，它們的區別主要是：

  • 分治法的子問題無重疊
  • 動態規劃的子問題有重疊，並且重疊的個數是指數級別的

動態規劃和貪心法的相同之處是原問題包含子問題的最優解，而它們的區別在於：

  • 貪心法只看區域性最優，最終達到全域性最優
  • 對於動態規劃局部最優不一定是全域性最優

1. Weighted interval scheduling
帶權重的最大相容子集，不能用貪心法進行求解，需要考慮動態規劃的解法。首先將活動按照結束時間排序。兩種情況，一種是選當前的j，那麼最優解等於從後往前找第一個與j不衝突的活動(使用二分查詢加快速度)的opt加上j的權重，一種是不選j，那麼最優解等於j的前一個活動的最優解。如下式：
o

pt(j)=max{vj+opt(p(j)),opt(j−1)}opt(j)=max\{v_j+opt(p(j)),opt(j-1)\}
ps.若按照開始時間排序，要反過來找，那麼opt(i)可以定義為，i~n個活動,p(i)是從前往後找第一個不衝突的活動。opt(n+1)=0,return opt(1)。
opt(i)=max{vi+opt(p(i)),opt(i+1)}opt(i)=max\{v_i+opt(p(i)),opt(i+1)\}

2. Segmented least squares


線段擬合點集問題，希望線段儘量少，error儘量小。
error定義為E+cL ，E是平方誤差之和，L是線段條數。
opt(j) 是p1...pjp_1...p_j的最小error，e(i,j)是pi,pi+1...pjp_i,p_{i+1}...p_j的最小平方誤差
opt(j)=min⁡1≤i≤j{eij+c+opt(i−1)}opt(j)=\min \limits_{1\leq i\leq j}\{e_{ij}+c+opt(i-1)\}
這個演算法的瓶頸在於計算eije_{ij}
，對j要掃一遍，j固定了，i要掃一遍，i固定了，在i j之間要掃一遍， 使得演算法的效率是O(n3)O(n^3).

3. 買賣股票系列

  • 只能買賣一次
    Best Time to Buy and Sell a Stock
    f(j):第j次賣出的最優解, f(1)=0, return max⁡1≤j≤n(f(j))\max\limits_{1\leq j\leq n}(f(j)) ,兩種情況，第一種是當天賣出，第二種是前j-1天買入，第j天賣出，第二種情況和第j-1天賣出的區別就是第j天的價格減去第j-1天的價格。
    f(j)=max(0,f(j−1)+pj−pj−1)f(j)=max(0,f(j-1)+p_{j}-p_{j-1})
    一個直觀的想法是說維護到目前為止價格的最低點，用上一行減去下一行即可得到最大利潤。
5 2 7 13 1 9
5 2 2 2 1 1

這道題還可以用分治法做，詳見上一篇博文。

  • 買賣兩次
    Best Time to Buy and Sell Stock III
    設定兩個dp陣列，f1(i)f_1(i)是第i天第一次賣出最大收益，f2(i)f_2(i)是第i天第二次賣出最大收益。
    思路1：
    g1(j)=max⁡1≤i≤jf1(i)g_1(j)=\max\limits_{1\leq i \leq j}{f_1(i)} 即為前j天的最大收益
    f2(j)=max⁡1≤i≤j{pj−pi+g1(i−1)}f_2(j)=\max\limits_{1\leq i \leq j}\{p_j-p_i+g_1(i-1)\}
    時間θ(n2)\theta (n^2) 空間θ(n)\theta (n)
    思路2：
    f2(j)=max(g1(j−1),f2(j−1)+pj−pi)f_2(j)=max(g1(j-1),f_2(j-1)+p_j-p_i)
    return max⁡1≤j≤n(f2(j))\max\limits_{1\leq j \leq n}(f_2(j))
    時間θ(n)\theta(n) 空間θ(n)\theta(n)

程式碼：

#include <iostream>
using namespace std;

int sale[100005];
int t;
int dp1[100005];
int dp1_max[100005];
int dp2[100005];
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",&sale[i]); //這裡使用cin會超時
            dp1[i]=0;
            dp2[i]=0;
        }
        int res=0;
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp1[i]=max(dp1[i-1]+sale[i]-sale[i-1],0);
            dp1_max[i]=max(dp1_max[i-1],dp1[i]); //最大值儲存別寫錯
            dp2[i]=max(dp1_max[i-1],dp2[i-1]+sale[i]-sale[i-1]);
            res=max(res,dp2[i]);
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}
    • dp[i, j] represents the max profit up until prices[j] using at most i transactions.
    • dp[i, j] = max(dp[i, j-1], prices[j] - prices[jj] + dp[i-1, jj]) { jj in range of [0, j-1] }
      = max(dp[i, j-1], prices[j] + max(dp[i-1, jj] - prices[jj]))
    • dp[0, j] = 0; 0 transactions makes 0 profit
    • dp[i, 0] = 0; if there is only one price data point you can’t make any transaction.

public int maxProfit(int k, int[] prices) {
	int n = prices.length;
	if (n <= 1)
		return 0;
	
	//if k >= n/2, then you can make maximum number of transactions.
	if (k >=  n/2) {
		int maxPro = 0;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			if (prices[i] > prices[i-1])
				maxPro += prices[i] - prices[i-1];
		}
		return maxPro;
	}
	
    int[][] dp = new int[k+1][n];
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
    	int localMax = dp[i-1][0] - prices[0];
    	for (int j = 1; j < n; j++) {
    		dp[i][j] = Math.max(dp[i][j-1],  prices[j] + localMax);
    		localMax = Math.max(localMax, dp[i-1][j] - prices[j]);
    	}
    }
    return dp[k][n-1];
}

public int maxProfit(int[] prices) {
		//當前是買入狀態（k<=i天買入，沒賣出）
        int[]hold=new int[prices.length+1];
        int[]sold=new int[prices.length+1];//賣出狀態
        int[]rest=new int[prices.length+1];//冷靜狀態
        hold[0]=Integer.MIN_VALUE;
        sold[0]=0;
        rest[0]=0;
        for(int i=1;i<prices.length+1;i++){
       		//買前需要冷靜
            hold[i]=Math.max(hold[i-1],rest[i-1]-prices[i-1]);
            //賣前需要買
            sold[i]=hold[i-1]+prices[i-1];
            //冷靜期之前要麼是休息要麼是賣掉了
            rest[i]=Math.max(rest[i-1],sold[i-1]);
        }
        return Math.max(rest[prices.length],sold[prices.length]);
    }

public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        if (prices.length <= 1) return 0;
        int days = prices.length, buy[] = new int[days];
        int sell[] = new int[days];
        buy[0]=-prices[0]-fee;
        for (int i = 1; i<days; i++) {
        // keep the same as day i-1, or buy from sell status at day i-1
            buy[i] = Math.max(buy[i - 1], sell[i - 1] - prices[i] - fee); 
        // keep the same as day i-1, or sell from buy status at day i-1
            sell[i] = Math.max(sell[i - 1], buy[i - 1] + prices[i]); 
        }
        return sell[days - 1];
    }

4. 最長遞增子序列
LeetCode Longest increasing subsequence
一個錯誤的思路
dp[i]=max{dp[p(i)]+1,dp[i-1]} 選i或者不選i,如果選，從後往前找到第一個小於i的值的dp值加1，這個思路不對的原因在於，沒辦法保證第一個小於i的值的狀態是選了這個值的狀態，也就是說，可能沒有選這個p(i)，它的當前最大值不能保證合法。

  • 思路1
    dp[i]是以i結尾的最長遞增子序列，那麼狀態轉移應該是，從i往前找，比i小的位置j的dp值加1中的最大值，注意，後面的數不一定比前面的大。最後返回的是dp值中最大的那一個。
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if(nums.length==0) return 0;
        int[]dp=new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp,1);
        int result=1;
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            for(int j=i-1;j>=0;j--){
                if(nums[j]<nums[i]){
                   dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);    
                   
                }
            }
            result
            
  

           

              
              

            

            
相關推薦

			   
            
            
            
 

    


    
    
演算法課8-Dynamic Programming⭐️

     
 
								
								            
							
							
							動態規劃是常考演算法，將指數級的問題降到多項式級別。
動態規劃和分治法都是將問題劃分成子問題進行求解，它們的區別主要是：

分治法的子問題無重疊
動態規劃的子問題有重疊，並且重疊的個數是指數級別的

動 



  
 

    


    
    
漫談演算法 動態規劃 Dynamic Programming

     
  
  
  
 Dynamic Programming一直以來是自己比較弱的一部分，希望可以在這一塊有所提升。 動態規劃，Dynamic Programming。這裡的programming沒有翻譯成程式設計，是因為，這裡的programming的意思是指一個tabular method。其實這也暗示了DP 



  
 

    


    
    
轉 演算法-動態規劃 Dynamic Programming--從菜鳥到老鳥

     
  
 
 個人分類： 演算法  
 版權宣告：本文為博主原創文章，轉載請標明出處。 https://blog.csdn.net/u013309870/article/details/75193592 
 前言 
 最近在牛客網上做了幾套公司的真題，發現有關動態規劃（Dynamic Programming）演算 



  
 

    


    
    
演算法-動態規劃 Dynamic Programming--從菜鳥到老鳥

     
 
                        前言

最近在牛客網上做了幾套公司的真題，發現有關動態規劃（Dynamic Programming）演算法的題目很多。相對於我來說，演算法裡面遇到的問題裡面感覺最難的也就是動態規劃（Dynamic Programming）演算法了，於是花了好長時間，查找了相關 



  
 

    


    
    
Dynamic Programming中的 Bellman-Ford演算法

     
  
 
  
  
 Shortest Paths with negative weights 
   
  
 Dynamic Programming 
  
 Pseudocode 
 // Shortest paths with negative edges
Shortest-Path(G, t) {
 



  
 

    


    
    
一文弄懂動態規劃（DP Dynamic Programming）下樓梯，國王和金礦，揹包問題，Dijkstra演算法

     
  
 
  
  
 動態規劃 
 參考連結 
 漫畫演算法，什麼是動態規劃？ 
 DP 
 動態規劃是一種分階段求解決策問題的數學思想 
 題目一 
 問：下樓梯問題，有一座高度是10級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級臺階，請問有多少中走法。 
 思路 
 剛才這個題目，你每走一步就有兩 



  
 

    


    
    
coursera演算法課 Programming Assignment 1:Percolation

     
 
							
							
							這次演算法作業的任務是通過蒙特卡洛模擬來計算 percolation threshold即滲濾閾值。 
滲濾：percolation滲濾是一個由絕緣體和金屬隨機分佈的複雜系統。那麼它的金屬分佈在什麼情況下會導致它是一個導體。科學家定義了一個抽象的被稱作perco 



  
 

    


    
    
演算法初探-動態規劃(Dynamic Programming)

     
 
                
程式設計之中接觸到很多關於演算法的知識，想來整理一番，算是對自己記憶的一個提醒

1.Coin11Problem  問題為：使用最少的三種面值為1,3,5的硬幣組合出11元。

重要的是狀態以及狀態轉移方程 d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj > 



  
 

    


    
    
演算法：解碼方法（動態規劃）—— decode-ways(Dynamic programming)

     
 
                problem：A string “s” is consisted of number characters. If thesubstring value of one or two adjacent characters in “s” is between 1 and 26 



  
 

    


    
    
公司聚會喜歡程度計算 演算法（動態規劃）Dynamic Programming

     
 
                
問題：
     Professor Stewart is consulting for the president of a corporation that is planning a company party. The company has a hierarchi 



  
 

    


    
    
五大常見演算法策略之——動態規劃策略（Dynamic Programming）

     
 Dynamic Programming
  Dynamic Programming是五大常用演算法策略之一，簡稱DP，譯作中文是“動態規劃”，可就是這個聽起來高大上的翻譯坑苦了無數人，因為看完這個演算法你可能會覺得和動態規劃根本沒太大關係，它對“動態”和“規劃”都沒有太深的體現。
  舉個最簡單的例子去先淺顯 



  
 

    


    
    
HDU 4972 A simple dynamic programming problem

     
 als   pos   trac   article   隨機   simple   mat   abs   ble   



隨機輸出保平安
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#inc 



  
 

    


    
    
2017 UESTC Training for Dynamic Programming

     
 輪廓   multi   eof   complete   ons   球隊   tags   clu   puts   2017 UESTC Training for Dynamic Programming
A    思維， 或 dp， 很有意思
方法1：  
構造法：蛇形安排賽程表算法復雜度：O(N 



  
 

    


    
    
Dynamic Programming

     
 int   rom   enc   sequence   expr   common   condition   dep   tro   First, think of solution as a linear sequence of decisions.
Second, work backward from 



  
 

    


    
    
以計算斐波那契數列為例說說動態規劃算法（Dynamic Programming Algorithm Overlapping subproblems Optimal substructure Memoization Tabulation）

     
 ash   麻省理工學院   遞歸樹   經典   top   有關   ctu   dynamic   代碼   動態規劃（Dynamic Programming）是求解決策過程（decision process）最優化的數學方法。它的名字和動態沒有關系，是Richard Bellman為了唬人而取的。
  



  
 

    


    
    
[leetcode]Dynamic Programming-121. Best Time to Buy and Sell Stock

     
 ram   tran   input   output   algorithm   ice   dynamic   c program   one   Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock o 



  
 

    


    
    
Dynamic programming language

     
 cost   system   eat   could   compute   imp   with   ffi   behaviors   動態改變運行時結構
Dynamic programming language, in computer science, is a class of high-leve 



  
 

    


    
    
動態規劃（dynamic programming）

     
 program   選擇   因此   移動   開始   解決   特征   尋找   ima   1、動態規劃是通過組合字問題的解而解決整個問題的。
2、它與分治法的區別：
　　　　分治法是將問題分解為一些獨立的子問題，遞歸的求解各個子問題，然後合並子問題的解而得到源問題的解。
　　　　而動態規劃適合用於 



  
 

    


    
    
動態規劃（dynamic programming）（二、最優子問題與重疊子問題，以及與貪心的區別）

     
 貪心策略   找到   算法   找問題   貪心   模式   解決   策略   最優   一、動態規劃基礎
　　雖然我們在（一）中討論過動態規劃的裝配線問題，但是究竟什麽時候使用動態規劃?那麽我們就要清楚動態規劃方法的最優化問題中的兩個要素：最優子結構和重疊子問題。
　　1、最優子結構
　　　　1）如果 



  
 

    


    
    
2018.3.1-2 huffman code and dynamic programming

     
 可能   空間   blog   線圖   bottom   div   多重   很多   基礎   這周先是huffman code，這東西是一種對數據進行二進制編碼的方式，這樣子編碼可以壓縮空間，算是一種壓縮算法。比如一串數據裏只有a，b，c，d四個字節，一般可能會覺得就00,01,10,11來指代這四