最近做了一些需要離散資料的題目，比如URAL 1019 以及POJ 2528等，由於資料較大，如果用傳統的方法建立對應的資料結構消耗的記憶體過大。由於以前沒有怎麼接觸過需要離散化的題目，於是就通過自己最近的做題經驗以及網上的部分資料，整理並講解了常用的離散資料的方法。

何為離散化？離散化，就是把無限空間中有限的個體對映到有限的空間中去，以此提高演算法的時空效率。

比如給你n個數：98998988,32434234,433234556,32434234,8384733,……

讓你統計其中每個數出現的次數，傳統的做法有好幾種，比如一遍一遍的掃過去，比對疊加，這樣演算法的效率是O(n2)，效率低下；

再比如先排序，再統計連續的相同的個數，這裡的效率已經有所提高了，不過假如上面的資料是一道線段樹的題目給出的資料，那麼建樹需要的空間開銷實在是太大了。

再改進一下，採用雜湊的方法，開一個大於其中最大數的陣列並初始化為零，O(n)掃一下，在該數字對應的下標的元素上+1，如果對於比較小的數字還好說，但是對於上面出現的數字直接採用雜湊對空間的開銷是十分大的也是沒有必要的，所以這裡用到了資料的離散化。

首先將數字排序：32434234，32434234，43324556，8384733，98998988

去重後給予其對應的索引：0,0,1,2,3分別對應每個數，就可以簡化很多操作，減少了很多不必要的資源開銷。

除了對於較大整數需要使用離散化之外，對於一些需要使用整型資料結構，但給出的資料卻是小數的也可以使用離散化，將其索引為整數就可以了。

那麼可以總結出離散化的步驟：

1、排序

2、去重

3、索引

為了簡化程式碼，我們採用STL演算法離散化：

int a[n], b[n], sub[n]; //a[n]是即將被離散化的陣列，b[n]是a[n]的副本，sub用於排序去重後提供離散化後的值
sort(sub, sub + n);
int size = unique(sub, sub + n) - sub;
for(int i = 0; i < n; i++)
    a[i] = lower_bound(sub, sub + size, a[i]) - sub; //即a[i]為b[i]離散化後對應的值
 

對於第3步，若離散化後序列為0, 1, 2, ..., size - 1則用lower_bound，從1, 2, 3, ..., size則用upper_bound，其中lower_bound返回第1個不小於b[i]的值的指標，而upper_bound返回第1個大於b[i]的值的指標，當然也可以用lower_bound然後再加1得到與upper_bound相同結果，兩者都是針對以排好序列。使用STL離散化大大減少了程式碼量且結構相當清晰。

離散化後查詢的問題(採用的如上程式碼的離散方式)：

1、通過離散後的值查詢離散前的值：

　　若離散後的值為x，那麼對應的離散前的值為sub[x]；

2、通過離散前的下標查詢離散後的值：

　　若離散前的下標為i，那麼對應的離散後的值為a[i]；

3、通過離散前的值查詢離散後的值：

　　如果沒有相應的儲存的話，首先要確定y在sub[]中的位置，或者在b[]中的位置，前者可以使用pos = lower_bound(sub, sub+size, y) - sub。那麼pos即為下標，通過第二步再查詢就好了。