二叉樹是樹的特殊一種，具有如下特點：1、每個結點最多有兩顆子樹，結點的度最大為2。2、左子樹和右子樹是有順序的，次序不能顛倒。3、即使某結點只有一個子樹，也要區分左右子樹。

一、特殊的二叉樹及特點

1、斜樹

所有的結點都只有左子樹（左斜樹），或者只有右子樹（右斜樹）。這就是斜樹，應用較少

2、滿二叉樹

所有的分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有的葉子結點都在同一層上，這樣就是滿二叉樹。就是完美圓滿的意思，關鍵在於樹的平衡。

根據滿二叉樹的定義，得到其特點為：

1. 葉子只能出現在最下一層。
2. 非葉子結點度一定是2.
3. 在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子樹最多。

3、完全二叉樹

對一棵具有n個結點的二叉樹按層序排號，如果編號為i的結點與同樣深度的滿二叉樹編號為i結點在二叉樹中位置完全相同，就是完全二叉樹。滿二叉樹必須是完全二叉樹，反過來不一定成立。

其中關鍵點是按層序編號，然後對應查詢。

在上圖中，樹1，按層次編號5結點沒有左子樹，有右子樹，10結點缺失。樹2由於3結點沒有字數，是的6,7位置空擋了。樹3中結點5沒有子樹。

上圖就是一個完全二叉樹。

結合完全二叉樹定義得到其特點：

1. 葉子結點只能出現在最下一層（滿二叉樹繼承而來）
2. 最下層葉子結點一定集中在左 部連續位置。
3. 倒數第二層，如有葉子節點，一定出現在右部連續位置。
4. 同樣結點樹的二叉樹，完全二叉樹的深度最小（滿二叉樹也是對的）。

根據下圖加深理解，什麼時候是完全二叉樹。

三、二叉樹性質

1、一般二叉樹性質

1、在非空二叉樹的i層上，至多有2^i-1個節點(i>=1)。通過歸納法論證。

2、在深度為K的二叉樹上最多有2^k-1個結點（k>=1)。通過歸納法論證。

3、對於任何一棵非空的二叉樹,如果葉節點個數為n₀，度數為2的節點個數為n₂，則有: n0 = n₂ + 1

在一棵二叉樹中，除了葉子結點（度為0）之外，就剩下度為2(n2)和1(n1)的結點了。則樹的結點總數為T = n0+n1+n2;在二叉樹中結點總數為T，而連線數為T-1.所以有：n0+n1+n2-1 = 2*n2 +n1;最後得到n0 = n2+1;

上圖中結點總數是10，n2為4，n1為1，n0為5。

2、完全二叉樹性質

a、具有n的結點的完全二叉樹的深度為log₂n+1.

滿二叉樹是完全二叉樹，對於深度為k的滿二叉樹中結點數量是2^k-1 = n，完全二叉樹結點數量肯定最多2^k-1,同時完全二叉樹倒數第二層肯定是滿的（倒數第一層有結點，那麼倒是第二層序號和滿二叉樹相同），所以完全二叉樹的結點數最少大於少一層的滿二叉樹，為2^k-1-1。

根據上面推斷得出： 2^k-1-1< n=<2^k-1，因為結點數Nn為整數那麼n<=2^k-1可以推出n<=2^k ,n>2^k-1-1可以推出 n>=2^k-1,所以2^k-1<n<=2^{k  。}即可得k-1<=log₂n<k 而k作為整數因此k=[log₂n]+1。

b、如果有一顆有n個節點的完全二叉樹的節點按層次序編號，對任一層的節點i（1<=i<=n）有

    1.如果i=1，則節點是二叉樹的根，無雙親，如果i>1，則其雙親節點為[i/2]，向下取整

    2.如果2i>n那麼節點i沒有左孩子，否則其左孩子為2i

    3.如果2i+1>n那麼節點沒有右孩子，否則右孩子為2i+1

在上圖中驗證

第一條：

當i=1時，為根節點。當i>1時，比如結點為7，他的雙親就是7/2= 3；結點9雙親為4.

第二條：

結點6,6*2 = 12>10，所以結點6無左孩子，是葉子結點。結點5，5*2 = 10，左孩子是10,結點4，為8.

第三條：

結點5，2*5+1>10,沒有右孩子，結點4，則有右孩子。

四、二叉樹遍歷

二叉樹遍歷：從樹的根節點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中所有的結點，使得每個結點被訪問僅且一次。

這裡有兩個關鍵詞：訪問和次序。

1、前序遍歷

基本思想：先訪問根結點，再先序遍歷左子樹，最後再先序遍歷右子樹即根—左—右。

圖中前序遍歷結果是：1，2，4，5，7，8，3，6。

a/前序遞迴遍歷的程式碼實現，如下所示

//前序遞迴遍歷
void PreOrderTraverse(BiTree t)
{
  //注意跳出條件
    if(t != NULL)
    {
       //注意訪問語句順序
        printf("%c ", t->data);
        PreOrderTraverse(t->lchild);
        PreOrderTraverse(t->rchild);
    }
}

前序非遞迴遍歷:

對於任一結點p：

        a. 訪問結點p，並將結點p入棧；

        b. 判斷結點p的左孩子是否為空，若為空，則取棧頂結點並進行出棧操作，並將棧頂結點的右孩子置為當前的結點p，迴圈置a；若不為空，則將p的左孩子置為當前結點p；

        c. 直到p為空，並且棧為空，則遍歷結束。

//前序非遞迴遍歷
int NoPreOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
 
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        fprintf(stdout, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
   //現將左子樹壓入棧，當到葉子結點後，出棧，獲取右子樹，然後在壓入右子樹的左子樹。
  //順序不能變
    while((tmp != NULL) || (IsEmpty(&s) != 1)) 
    {
        while(tmp != NULL)
        {
            Push(&s, tmp);
            printf("%c ", tmp->data);
            tmp = tmp->lchild;
        }
        if(IsEmpty(&s) != 1)
        {
            Pop(&s, &tmp);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
     
    return OK;
}

2、中序遍歷

基本思想：先中序遍歷左子樹，然後再訪問根結點，最後再中序遍歷右子樹即左—根—右。

圖中中序遍歷結果是：4，2，7，8，5，1，3，6。

中序遍歷迭代程式碼

//中序遞迴遍歷
void InOrderTraverse(BiTree t)
{
    if(t != NULL)
    {
        InOrderTraverse(t->lchild);
        printf("%c ", t->data);
        InOrderTraverse(t->rchild);
    }
}

2）中序非遞迴遍歷

    根據中序遍歷的順序，對於任一結點，優先訪問其左孩子，而左孩子結點又可以看做一個根結點，然後繼續訪問其左孩子結點，直到遇到左孩子結點為空的結點才停止訪問，然後按相同的規則訪問其右子樹。其處理過程如下：

       對於任一結點：

       a. 若其左孩子不為空，則將p入棧，並將p的左孩子設定為當前的p，然後對當前結點再進行相同的操作；

       b. 若其左孩子為空，則取棧頂元素並進行出棧操作，訪問該棧頂結點，然後將當前的p置為棧頂結點的右孩子；

       c. 直到p為空並且棧為空，則遍歷結束。

//中序非遞迴遍歷二叉樹
int NoInOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
     
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        fprintf(stderr, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
 
    while(tmp != NULL || (IsEmpty(&s) != 1))
    {
        while(tmp != NULL)
        {
            Push(&s, tmp);
            tmp = tmp->lchild;
        }
 
        if(IsEmpty(&s) != 1)
        {
            Pop(&s, &tmp);
            printf("%c ", tmp->data);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
    return OK;
}

3、後序遍歷

基本思想：先後序遍歷左子樹，然後再後序遍歷右子樹，最後再訪問根結點即左—右—根。

圖中後序遍歷結果是：4，8，7，5，2，6，3，1。

後序遞迴遍歷程式碼實現，如下所示。

//後序遞迴遍歷
void PostOrderTraverse(BiTree t)
{
    if(t != NULL)
    {
        PostOrderTraverse(t->lchild);
        PostOrderTraverse(t->rchild);
        printf("%c ", t->data);
    }
}

  後序遍歷的非遞迴實現是三種遍歷方式中最難的一種。因為在後序遍歷中，要保證左孩子和右孩子都已被訪問，並且左孩子在右孩子之前訪問才能訪問根結點，這就為流程控制帶來了難題。下面介紹一種思路。

     要保證根結點在左孩子和右孩子訪問之後才能訪問，因此對於任一結點p，先將其入棧。若p不存在左孩子和右孩子，則可以直接訪問它，或者p存在左孩子或右孩子，但是其左孩子和右孩子都已經被訪問過了，則同樣可以直接訪問該結點。若非上述兩種情況，則將p的右孩子和左孩子依次入棧，這樣就保證了每次取棧頂元素的時候，左孩子在右孩子之前別訪問，左孩子和右孩子都在根結點前面被訪問。

//後序非遞迴遍歷二叉樹
int NoPostOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
 
    BiTree cur;     //當前結點  
    BiTree pre = NULL;      //前一次訪問的結點
    BiTree tmp;
 
    if(t == NULL)
    {
        fprintf(stderr, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
 
    Push(&s, t);
    while(IsEmpty(&s) != 1)
    {
        GetTop(&s, &cur);//
        if((cur->lchild == NULL && cur->rchild == NULL) || (pre != NULL && (pre == cur->lchild || pre == cur->rchild)))
        {
            printf("%c ", cur->data);    //如果當前結點沒有孩子結點或者孩子結點都已被訪問過
            Pop(&s, &tmp);
            pre = cur;
        }
        else
        {
            if(cur->rchild != NULL)
            {
                Push(&s, cur->rchild);
            }
            if(cur->lchild != NULL)
            {
                Push(&s, cur->lchild);
            }
        }
    }
    return OK;
}

五、二叉樹的建立

其實而二叉樹的建立就是二叉樹的遍歷，只不過將輸入內容改為建立結點而已，比如，利用前序遍歷建立二叉樹

//建立樹
//按先後次序輸入二叉樹中結點的值(一個字元),#表示空樹
//構造二叉連結串列表示的二叉樹
BiTree CreateTree(BiTree t)
{
    char ch;
    scanf("%c", &ch);
 
    if(ch == '#')
    {
        t = NULL;
    }
    else
    {
        t = (BitNode *)malloc(sizeof(BitNode));
        if(t == NULL)
        {
            fprintf(stderr, "malloc() error in CreateTree.\n");
            return;
        }
 
        t->data = ch;                        //生成根結點
        t->lchild = CreateTree(t->lchild);    //構造左子樹
        t->rchild = CreateTree(t->rchild);    //構造右子樹
    }
    return t;
}