B+樹和B-樹總結：

B+ 樹是B-樹的變體，也是一種多路搜尋樹

B+樹與B-樹相同點在於：

1. 對於一顆M階B+和B-樹來說，根節點的分支數範圍為[2,m]，非根結點的分支數範圍為[m/2(向上取整)，m]

2. 所有葉子結點都在同一層

3. 插入操作都是在葉子結點完成（破壞結構後再向上調整）

B+ 樹與B-樹不同點在於：

1. B+樹非葉子結點的字數指標與關鍵字個數相同；B-樹所有結點的分支（指標）個數比關鍵字個數大1。（分支數都相同，關鍵字數B+ 樹與分指數相同，B-樹比分支數少1）

2. B+樹非葉子結點的字數指標P[i]，指向關鍵字值屬於[k[i] , K[i+1]) 

    B-樹都是開區間，因為結點內的關鍵字都不重複，所以不會出現一個區間閉合處的關鍵字，所以都是開區間，例：

    P[0]指向小於k[0]關鍵字的結點，p[1]指向大於k[0]小於k[1]關鍵字的結點，p[2]指向大於k[1]關鍵字的結點。（指標指向的結點不會包含上層關鍵 字）

3. B+樹的所有關鍵字都在葉子結點出現；B-樹的關鍵字可以在非葉子結點被找到。

4. B+樹為所有葉子結點增加了一個鏈指標，將所有葉子結點用指標鏈穿起來。（稠密索引）

總結B+ 樹和B- 樹插入刪除：

1. 都是在葉子結點進行插入，如果不破壞結構的話，直接插入；如果破壞結構，關鍵字多於規定時，進行結點拆分，在[m/2](向上取整)處拆分，拆分後再調整父節點到符合規定的狀態

2. B+樹刪除都是在葉子結點進行，如果不破壞結構的話，直接刪除；如果破壞結構，關鍵字少於規定時，先觀察左右兄弟結點，若結點關鍵字數大於[m/2](即大於最小值)，則可以借結點過來，並調整父節點到規定結構；若左右兄弟結點不可借，則進行結點合併，再修改父節點到規定結構。

  B-樹殺出可能在葉子結點，可以在非葉子結點，在葉子結點和B+樹類似，不滿足結構時需要借關鍵字或合併結點；在非葉子結點時，需要找到他的相鄰關鍵字進行替換，在刪除葉子節點上的相鄰關鍵字（上一篇B-樹刪除操作裡說過）

B+樹定義及插入刪除操作圖解：（轉）

一，    M階B+樹的定義(M階是指一個節點最多能擁有的孩子數,M>2):

圖1.1 3階B+樹

        (1)根結點只有1個，分支數量範圍[2,m]。

        (2)除根以外的非葉子結點，每個結點包含分支數範圍[[m/2],m]，其中[m/2]表示取大於m/2的最小整數。

        (3)所有非葉子節點的關鍵字數目等於它的分支數量。

        (4) 所有葉子節點都在同一層，且關鍵字數目範圍是[[m/2],m]，其中[m/2]表示取大於m/2的最小整數。

        (5)所有非葉子節點的關鍵字可以看成是索引部分，這些索引等於其子樹（根結點）中的最大（或最小）關鍵字。例如一個非葉子節點包含資訊: (n，A0,K0, A1,K1,……,Kn,An)，其中Ki為關鍵字，Ai為指向子樹根結點的指標，n表示關鍵字個數。即Ai所指子樹中的關鍵字均小於或等於Ki，而Ai+1所指的關鍵字均大於Ki（i=1，2，……，n）。

        (6)葉子節點包含全部關鍵字的資訊(非葉子節點只包含索引)，且葉子結點中的所有關鍵字依照大小順序連結(所以一個B+樹通常有兩個頭指標，一個是指向根節點的root，另一個是指向最小關鍵字的sqt)。

二，    3階B+樹的插入舉例：

l  例1：

往下圖的3階B+樹中插入關鍵字9

首先查詢9應插入的葉節點(最左下角的那一個),插入發現沒有破壞B+樹的性質,完畢。插完如下圖所示:

l  例2：

往下圖的3階B+樹插入20

首先查詢20應插入的葉節點(第二個葉子節點),插入，如下圖

發現第二個葉子節點已經破壞了B+樹的性質,則把之分解成[20 21], [37 44]兩個,並把21往父節點移，如下圖

發現父節點也破壞了B+樹的性質,則把之再分解成[15 21], [44 59]兩個,並把21往其父節點移，如下圖

這次沒有破壞B+樹的性質(如果還是不滿足B+樹的性質,可以遞迴上去,直到滿足為至),插入完畢。

l  例3：

往下圖的3階B+樹插入100

首先查詢100應插入的葉節點(最後一個節點), 插入，如下圖

修改其所有父輩節點的鍵值為100(只有插入比當前樹的最大數大的數時要做此步),如下圖

然後重複Eg.2的方法拆分節點,最後得

三，    3階B+樹的刪除舉例：

l  例1：

刪除下圖3階B+樹的關鍵字91

首先找到91所在葉節點(最後一個節點),刪除之，如下圖

沒有破壞B+樹的性質,刪除完畢

l  例2：

刪除下圖3階B+樹的關鍵字97

首先找到97所在葉節點(最後一個節點),刪除之，然後修改該節點的父輩的鍵字為91(只有刪除樹中最大數時要做此步)，如下圖

l  例3：

刪除下圖3階B+樹的關鍵字51

首先找到51所在節點(第三個節點),刪除之，如下圖

破壞了B+樹的性質,從該節點的兄弟節點(左邊或右邊)借節點44，並修改相應鍵值,判斷沒有破壞B+樹,完畢，如下圖

l  例4：

刪除下圖3階B+樹的關鍵字59

首先找到59所在葉節點(第三個節點),刪除之，如下圖

破壞B+樹性質,嘗試借節點,無效(因為左兄弟節點被借也會破壞B+樹性質),合併第二第三葉節點並調整鍵值，如下圖

完畢。

l  例5：

刪除下圖3階B+樹的關鍵字63

首先找到63所在葉節點(第四個節點),刪除之，如下圖

合併第四五葉節點並調整鍵值，如下圖

發現第二層的第二個節點不滿足B+樹性質,從第二層的第一個節點借59,並調整鍵值，如下圖

完畢

總結B+ 樹和B- 樹插入刪除：

1. 都是在葉子結點進行插入，如果不破壞結構的話，直接插入；如果破壞結構，關鍵字多於規定時，進行結點拆分，在[m/2](向上取整)處拆分，拆分後再調整父節點到符合規定的狀態

2. B+樹刪除都是在葉子結點進行，如果不破壞結構的話，直接刪除；如果破壞結構，關鍵字少於規定時，先觀察左右兄弟結點，若結點關鍵字數大於[m/2](即大於最小值)，則可以借結點過來，並調整父節點到規定結構；若左右兄弟結點不可借，則進行結點合併，再修改父節點到規定結構。

  B-樹殺出可能在葉子結點，可以在非葉子結點，在葉子結點和B+樹類似，不滿足結構時需要借關鍵字或合併結點；在非葉子結點時，需要找到他的相鄰關鍵字進行替換，在刪除葉子節點上的相鄰關鍵字（上一篇B-樹刪除操作裡說過）