轉載自：b+樹介紹

B+樹

B+樹和二叉樹、平衡二叉樹一樣，都是經典的資料結構。B+樹由B樹和索引順序訪問方法（ISAM，是不是很熟悉？對，這也是MyISAM引擎最初參考的資料結構）演化而來，但是在實際使用過程中幾乎已經沒有使用B樹的情況了。

B+樹的定義十分複雜，因此只簡要地介紹B+樹：B+樹是為磁碟或其他直接存取輔助裝置而設計的一種平衡查詢樹，在B+樹中，所有記錄節點都是按鍵值的大小順序存放在同一層的葉節點中，各葉節點指標進行連線。

我們先來看一個B+樹，其高度為2，每頁可存放4條記錄，扇出（fan out）為5。

可以看出，所有記錄都在葉節點中，並且是順序存放的，如果我們從最左邊的葉節點開始順序遍歷，可以得到所有鍵值的順序排序：5、10、15、20、25、30、50、55、60、65、75、80、85、90。

B+樹的插入操作

B+樹的插入必須保證插入後葉節點中的記錄依然排序，同時需要考慮插入B+樹的三種情況，每種情況都可能會導致不同的插入演算法，如表5-1所示。 

我們用例項來分析B+樹的插入，我們插入28這個鍵值，發現當前Leaf Page和Index Page都沒有滿，我們直接插入就可以了。

這次我們再插入一條70這個鍵值，這時原先的Leaf Page已經滿了，但是Index Page還沒有滿，符合表5-1的第二種情況，這時插入Leaf Page後的情況為50、55、60、65、70。我們根據中間的值60拆分葉節點。

因為圖片顯示的關係，這次我沒有能在各葉節點加上雙向連結串列指標。最後我們來插入記錄95，這時符合表5-1討論的第三種情況，即Leaf Page和Index Page都滿了，這時需要做兩次拆分。

可以看到，不管怎麼變化，B+樹總是會保持平衡。但是為了保持平衡，對於新插入的鍵值可能需要做大量的拆分頁（split）操作，而B+樹主要用於磁碟，因此頁的拆分意味著磁碟的操作，應該在可能的情況下儘量減少頁的拆分。因此，B+樹提供了旋轉（rotation）的功能。

旋轉發生在Leaf Page已經滿了、但是其左右兄弟節點沒有滿的情況下。這時B+樹並不會急於去做拆分頁的操作，而是將記錄移到所在頁的兄弟節點上。通常情況下，左兄弟被首先檢查用來做旋轉操作，這時我們插入鍵值70，其實B+樹並不會急於去拆分葉節點，而是做旋轉，50，55，55旋轉。

可以看到，採用旋轉操作使B+樹減少了一次頁的拆分操作，而這時B+樹的高度依然還是2。

B+樹的刪除操作

B+樹使用填充因子（fill factor）來控制樹的刪除變化，50%是填充因子可設的最小值。B+樹的刪除操作同樣必須保證刪除後葉節點中的記錄依然排序，同插入一樣，B+樹的刪除操作同樣需要考慮如表5-2所示的三種情況，與插入不同的是，刪除根據填充因子的變化來衡量。 

首先，刪除鍵值為70的這條記錄，該記錄符合表5-2討論的第一種情況，刪除後。

接著我們刪除鍵值為25的記錄，這也是表5-2討論的第一種情況，但是該值還是Index Page中的值，因此在刪除Leaf Page中25的值後，還應將25的右兄弟節點的28更新到Page Index中，最後可得到圖。

最後我們來看刪除鍵值為60的情況，刪除Leaf Page中鍵值為60的記錄後，填充因子小於50%，這時需要做合併操作，同樣，在刪除Index Page中相關記錄後需要做Index Page的合併操作，最後得到圖。