眾所周知，當n，m在自然數集中有
Cmn=n!m!(n−m)!
由此可證得Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1
而Cm−n=−(1)mCn+m−1m
是否也能用兩個組合數來表示Cm−n
答案是肯定的。
容易猜想Cm−n=Cm−n+1−Cm−1−n+1
而且猜想很容易證得是正確的。
證明如下:
Cm−n=−(1)mCmn+m−1
Cm−n+1−Cm−1−n+1=−(1)mCmn+m−2−(−1)m−1Cm−1n+m−2=−(1)m(Cmn+m−2+Cm−1n+m−2)
又由Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1可得Cmn+m−1=Cmn+m−2+Cm−1n+m−2
所以Cm−n

=Cm−n+1−Cm−1−n+1

規定n，m為自然數，
Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1，Cm−n=Cm−n+1−Cm−1−n+1有什麼用呢？
考慮化簡這樣一個式子
Ck1+Ck2+Ck3+...+Ckn(n,k為正整數)
其實該式就等於Ck+1n+1
因為Ck