剛剛學了一些基礎的三維計算幾何
接觸到了增量法——一種看似暴力，實際睿智的演算法
下面就是增量法在另一類問題上的展現

演算法原文

問題描述

給定n個點，用一個最小的圓把這些點全部覆蓋，求這個圓的圓心半徑

演算法

① 將所有點隨機排布（這樣可以保證演算法的複雜度）

② 初始隨意找到兩點，設為P1,P2$P_1,P_2$，以P1P2$P_1{P}_2$為直徑得到初始圓，設為C2$C_2$（Ci$C_i$表示包含前i個點的最小圓）

③ 按順序依次加點，設當前點為Pi$P_i$：若Pi$P_i$在當前圓Ci−1$C_{i-1}$內，Ci=Ci−1$C_i=C_{i-1}$；否則進入④

④ 一旦進入④，就說明我們需要在構造一個新的圓
顯然插入點

Pi$P_i$一定在新圓的邊界上
簡單的，我們直接以P1Pi$P_1{P}_i$為直徑暫且得到一個Ci$C_i$

⑤ 新得到的Ci$C_i$不一定能包含1~i所有的點
我們找到不在Ci$C_i$中的一點Pj(j<i)$P_j(j<i)$，那麼Pi,Pj$P_i,P_j$一定在更新的圓的邊界上
現在為止，我們能確定有兩個點（Pi,Pj$P_i,P_j$）在更新的圓的邊界上
因此，簡單的，我們直接以P1Pj$P_1{P}_j$為直徑暫且得到一個Cj$C_j$

⑥ 同樣的，新得到的Cj$C_j$不一定能包含1~j所有的點
我們找到不在Cj$C_j$中的一點Pk(k<j<i)$P_k(k<j<i)$，那麼Pi,Pj,Pk$P_i,P_j,P_k$一定在更新的圓的邊界上

現在我們能確定有三個點（Pi,Pj，Pk$P_i,P_j，P_k$）在更新的圓的邊界上
因為三點確定一個圓，Pi,Pj，Pk$P_i,P_j，P_k$構成了新的圓，一定能覆蓋前i$i$個點

上圖中展示的就是一個簡單維護過程

於是，這個問題就被轉化為若干個子問題來求解了

由於三個點確定一個圓，我們的過程大致上做的是從沒有確定點，到有一個確定點，再到有兩個確定點，再到有三個確定點來求圓的工作

時間複雜度：O(N)

空間複雜度：O(N)

小細節

Q1.

過三點如何求圓？

A1.

先求叉積

若叉積為0，即三個點在同一直線，那麼找到距離最遠的一對點，以它們的連線為直徑做圓即可；

若叉積不為0，即三個點不共線，那麼就求三角形的外接圓

Q2.

如何求三角形外接圓？

A1.

設三個點(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$
設過(x1,y1),(x2,y2)$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$的直線l1$l_1$方程為Ax+By=C$Ax+By=C$
它的中點為(xmid,

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