一般地，a^n的演算法時間複雜度為o(n)，但是如果n為大數，則執行時間過長，效率不高。因此，使用二分的思想降低時間複雜度，使其降至o(logn)，則會使執行效率較大提升。二分思想如下圖所示。

例如：2^8=2^4*2^4=(2^2*2^2)*(2^2*2^2)=((2*2)*(2*2))*((2*2)*(2*2)),只需計算4次，比原來的8次降低許多(這裡多一次，是把第一次乘1也算上)

  奇數次：2^9=2*(2^4)*(2^4)=2*(2^2*2^2)*(2^2*2^2)=2*((2*2)*(2*2))*((2*2)*(2*2)) 

因此，快速冪的程式碼實現如下：

def quick(a,n,p):
    res=1
    ans=a
    while n>=2:
        if n&1:
            res=(ans*res)%p
        ans=(ans*ans)%p
        n=n>>1
    ans=res*ans
    return ans%p
if __name__ == '__main__':
    a,n,p=map(int,raw_input().split())
    print quick(a,n,p)
 

根據矩陣乘法的結合律AB.....B=A(B)^n,而B^n則可以用快速冪的方法求，就可以降低計算時間。

矩陣的快速冪是用來高效地計算矩陣的高次方的。將樸素的o（n）的時間複雜度，降到log（n）。這裡先對原理（主要運用了矩陣乘法的結合律）做下簡單形象的介紹：一般一個矩陣的n次方，我們會通過連乘n-1次來得到它的n次冪。但做下簡單的改進就能減少連乘的次數，方法如下：把n個矩陣進行兩兩分組，比如：A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A)這樣變的好處是，你只需要計算一次A*A，然後將結果(A*A)連乘自己兩次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下發現這次一共乘了3次，少於原來的5次。其實大家還可以取A^3作為一個基本單位。原理都一樣：利用矩陣乘法的結合律，來減少重複計算的次數。以上都是取一個具體的數來作為最小單位的長度，這樣做雖然能夠改進效率，但缺陷也是很明顯的，取個極限的例子（可能有點不恰當，但基本能說明問題），當n無窮大的時候，你現在所取的長度其實和1沒什麼區別。所以就需要我們找到一種與n增長速度”相適應“的”單位長度“，那這個長度到底怎麼去取呢？？？這點是我們要思考的問題。有了以上的知識，我們現在再來看看，到底怎麼迅速地求得矩陣的N次冪。既然要減少重複計算，那麼就要充分利用現有的計算結果咯！~怎麼充分利用計算結果呢？？？這裡考慮二分的思想。。
回頭看看矩陣的快速冪問題，我們是不是也能把它離散化呢？比如A^19  =>  （A^16）*（A^2）*（A^1），顯然採取這樣的方式計算時因子數將是log(n)級別的(原來的因子數是n)，不僅這樣，因子間也是存在某種聯絡的，比如A^4能通過(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通過(A^4)*(A^4)得到，這點也充分利用了現有的結果作為有利條件。下面舉個例子進行說明：

斐波那契數列的遞推： f(n) = f(n-1) + f(n-2);其對應的矩陣就是      f(n)   f(n-1)    f(n-1)   f(n-2)     1    1          即形如C=A*B
                                                                                                                      0      0   =        0       0    *   1    0    
可以發現，左面是個常數矩陣，而右面的列向量中每一項就是遞推公式中的依賴項。然後根據初始兩f(1)=1,f(0)=0,則將初始值代入A中，求C=A*(B^(n-2))。

問題描述：

現在有一棟高樓，但是電梯卻出了故障，無奈的你只能走樓梯上樓，根據你的腿長，你一次能走1級或2級樓梯，已知你要走n級樓梯才能走到你的目的樓層，請計算你走到目的樓層的方案數，由於樓很高，所以n的範圍為int範圍內的正整數。
給定樓梯總數n，請返回方案數。為了防止溢位，請返回結果Mod 1000000007的值。
測試樣例：
      3
返回：3

程式碼實現：

#-*- coding:utf-8 -*-
class GoUpstairs:
    def countWays(self, n):
        n=n-1
        res=base=[[1,1],[1,0]]
        surplus=[[1,1],[0,0]]
        while(n>=2):
            if n&1:
                surplus=self.mutiply(surplus,res)
            res=self.mutiply(res,res)
            n=n>>1
        res=self.mutiply(surplus, res)
        return res[0][0]%1000000007
    def mutiply(self,a,b):
        temp=[[0,0],[0,0]]
        for i in range(len(a)):
            for j in range(len(b)):
                for k in range(len(temp)):
                    temp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]%1000000007
                      
        return temp