【啊哈!演算法】系列7:Dijkstra最短路演算法
阿新 • • 發佈:2018-12-24
上週我們介紹了神奇的只有五行的Floyd最短路演算法,它可以方便的求得任意兩點的最短路徑,這稱為“多源最短路”。本週來來介紹指定一個點(源點)到其餘各個頂點的最短路徑,也叫做“單源最短路徑”。例如求下圖中的1號頂點到2、3、4、5、6號頂點的最短路徑。
與Floyd-Warshall演算法一樣這裡仍然使用二維陣列e來儲存頂點之間邊的關係,初始值如下。
我們還需要用一個一維陣列dis來儲存1號頂點到其餘各個頂點的初始路程,如下。
我們將此時dis陣列中的值稱為最短路的“估計值”。
既然是求1號頂點到其餘各個頂點的最短路程,那就先找一個離1號頂點最近的頂點。通過陣列dis可知當前離1號頂點最近是2號頂點。當選擇了2號頂點後,dis[2]的值就已經從“估計值”變為了“確定值”,即1號頂點到2號頂點的最短路程就是當前dis[2]值。為什麼呢?你想啊,目前離1號頂點最近的是2號頂點,並且這個圖所有的邊都是正數,那麼肯定不可能通過第三個頂點中轉,使得1號頂點到2號頂點的路程進一步縮短了。因為1號頂點到其它頂點的路程肯定沒有1號到2號頂點短,對吧O(∩_∩)O~
既然選了2號頂點,接下來再來看2號頂點有哪些出邊呢。有2->3和2->4這兩條邊。先討論通過2->3這條邊能否讓1號頂點到3號頂點的路程變短。也就是說現在來比較dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1號頂點到3號頂點的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1號頂點到2號頂點的路程,e[2][3]表示2->3這條邊。所以dis[2]+e[2][3]就表示從1號頂點先到2號頂點,再通過2->3這條邊,到達3號頂點的路程。
我們發現dis[3]=12,dis[2]+e[2][3]=1+9=10,dis[3]>dis[2]+e[2][3],因此dis[3]要更新為10。這個過程有個專業術語叫做“鬆弛”。即1號頂點到3號頂點的路程即dis[3],通過2->3這條邊鬆弛成功。這便是Dijkstra演算法的主要思想:通過“邊”來鬆弛1號頂點到其餘各個頂點的路程。
同理通過2->4(e[2][4]),可以將dis[4]的值從∞鬆弛為4(dis[4]初始為∞,dis[2]+e[2][4]=1+3=4,dis[4]>dis[2]+e[2][4],因此dis[4]要更新為4)。
剛才我們對2號頂點所有的出邊進行了鬆弛。鬆弛完畢之後dis陣列為:
接下來,繼續在剩下的3、4、5和6號頂點中,選出離1號頂點最近的頂點。通過上面更新過dis陣列,當前離1號頂點最近是4號頂點。此時,dis[4]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。下面繼續對4號頂點的所有出邊(4->3,4->5和4->6)用剛才的方法進行鬆弛。鬆弛完畢之後dis陣列為:
繼續在剩下的3、5和6號頂點中,選出離1號頂點最近的頂點,這次選擇3號頂點。此時,dis[3]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。對3號頂點的所有出邊(3->5)進行鬆弛。鬆弛完畢之後dis陣列為:
繼續在剩下的5和6號頂點中,選出離1號頂點最近的頂點,這次選擇5號頂點。此時,dis[5]的值已經從“估計值”變為了“確定值”。對5號頂點的所有出邊(5->4)進行鬆弛。鬆弛完畢之後dis陣列為:
最後對6號頂點所有點出邊進行鬆弛。因為這個例子中6號頂點沒有出邊,因此不用處理。到此,dis陣列中所有的值都已經從“估計值”變為了“確定值”。
最終dis陣列如下,這便是1號頂點到其餘各個頂點的最短路徑。
OK,現在來總結一下剛才的演算法。演算法的基本思想是:每次找到離源點(上面例子的源點就是1號頂點)最近的一個頂點,然後以該頂點為中心進行擴充套件,最終得到源點到其餘所有點的最短路徑。基本步驟如下:
可以輸入以下資料進行驗證。第一行兩個整數n m。n表示頂點個數(頂點編號為1~n),m表示邊的條數。接下來m行表示,每行有3個數x y z。表示頂點x到頂點y邊的權值為z。
執行結果是
-
將所有的頂點分為兩部分:已知最短路程的頂點集合P和未知最短路徑的頂點集合Q。最開始,已知最短路徑的頂點集合P中只有源點一個頂點。我們這裡用一個book[ i ]陣列來記錄哪些點在集合P中。例如對於某個頂點i,如果book[ i ]為1則表示這個頂點在集合P中,如果book[ i ]為0則表示這個頂點在集合Q中。
-
設定源點s到自己的最短路徑為0即dis=0。若存在源點有能直接到達的頂點i,則把dis[ i ]設為e[s][ i ]。同時把所有其它(源點不能直接到達的)頂點的最短路徑為設為∞。
-
在集合Q的所有頂點中選擇一個離源點s最近的頂點u(即dis[u]最小)加入到集合P。並考察所有以點u為起點的邊,對每一條邊進行鬆弛操作。例如存在一條從u到v的邊,那麼可以通過將邊u->v新增到尾部來拓展一條從s到v的路徑,這條路徑的長度是dis[u]+e[u][v]。如果這個值比目前已知的dis[v]的值要小,我們可以用新值來替代當前dis[v]中的值。
-
重複第3步,如果集合Q為空,演算法結束。最終dis陣列中的值就是源點到所有頂點的最短路徑。
#include <stdio.h>
int main()
{
int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;
int inf=99999999; //用inf(infinity的縮寫)儲存一個我們認為的正無窮值
//讀入n和m,n表示頂點個數,m表示邊的條數
scanf("%d %d",&n,&m);
//初始化
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(i==j) e[i][j]=0;
else e[i][j]=inf;
//讀入邊
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
e[t1][t2]=t3;
}
//初始化dis陣列,這裡是1號頂點到其餘各個頂點的初始路程
for(i=1;i<=n;i++)
dis[i]=e[1][i];
//book陣列初始化
for(i=1;i<=n;i++)
book[i]=0;
book[1]=1;
//Dijkstra演算法核心語句
for(i=1;i<=n-1;i++)
{
//找到離1號頂點最近的頂點
min=inf;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(book[j]==0 && dis[j]<min)
{
min=dis[j];
u=j;
}
}
book[u]=1;
for(v=1;v<=n;v++)
{
if(e[u][v]<inf)
{
if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
dis[v]=dis[u]+e[u][v];
}
}
}
//輸出最終的結果
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",dis[i]);
getchar();
getchar();
return 0;
}
可以輸入以下資料進行驗證。第一行兩個整數n m。n表示頂點個數(頂點編號為1~n),m表示邊的條數。接下來m行表示,每行有3個數x y z。表示頂點x到頂點y邊的權值為z。
6 9
1 2 1
1 3 12
2 3 9
2 4 3
3 5 5
4 3 4
4 5 13
4 6 15
5 6 4
執行結果是
0 1 8 4 13 17