最長遞增子序列LIS

問題

給定一個長度為N的陣列，找出一個最長的單調自增子序列（不一定連續，但是順序不能亂）。例如：給定一個長度為6的陣列A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，則其最長的單調遞增子序列為{5，6，7，8}，長度為4.

最長遞增子序列

O(NlgN）演算法

假設存在一個序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出來它的LIS長度為5。
下面一步一步試著找出它。
我們定義一個序列B，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變數Len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B裡，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

然後，把d[2]有序地放到B裡，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為B[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

於是我們知道了LIS的長度為5。

注意，這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是儲存的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入資料。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在B中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查詢，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~於是演算法的時間複雜度就降低到了O(NlogN)～！
程式碼如下（程式碼中的陣列B從位置0開始存資料）

#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <string.h>  

#define N 9 //陣列元素個數  
int array[N] = {2, 1, 6, 3, 5, 4, 8, 7, 9}; //原陣列  
int B[N]; //在動態規劃中使用的陣列,用於記錄中間結果,其含義三言兩語說不清,請參見博文的解釋  
int len; //用於標示B陣列中的元素個數  

int LIS(int *array, int n); //計算最長遞增子序列的長度,計算B陣列的元素,array[]迴圈完一遍後,B的長度len即為所求  
int BiSearch(int *b, int len, int w); //做了修改的二分搜尋演算法  

int main()  
{  
    printf("LIS: %d\n", LIS(array, N));  

    int i;  
    for(i=0; i<len; ++i)  
    {  
        printf("B[%d]=%d\n", i, B[i]);  
    }  

    return 0;  
}  

int LIS(int *array, int n)  
{  
    len = 1;  
    B[0] = array[0];  
    int i, pos = 0;  

    for(i=1; i<n; ++i)  
    {  
        if(array[i] > B[len-1]) //如果大於B中最大的元素，則直接插入到B陣列末尾  
        {  
            B[len] = array[i];  
            ++len;  
        }  
        else  
        {  
            pos = BiSearch(B, len, array[i]); //二分查詢需要插入的位置  
            B[pos] = array[i];  
        }  
    }  

    return len;  
}  

//修改的二分查詢演算法，返回陣列元素需要插入的位置。  
int BiSearch(int *b, int len, int w)  
{  
    int left = 0, right = len - 1;  
    int mid;  
    while (left <= right)  
    {  
        mid = left + (right-left)/2;  
        if (b[mid] > w)  
            right = mid - 1;  
        else if (b[mid] < w)  
            left = mid + 1;  
        else    //找到了該元素，則直接返回  
            return mid;  
    }  
    return left;//陣列b中不存在該元素，則返回該元素應該插入的位置  
}

2.最大連續子序列和

問題
對於形如：int arr[] = { 1, -5, 3, 8, -9, 6 };的陣列，求出它的最大連續子序列和。
若陣列中全部元素都是正數，則最大連續子序列和即是整個陣列。
若陣列中全部元素都是負數，則最大連續子序列和即是空序列，最大和就是0。

class Solution {
public:
      int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
        if(array.size()==0)
            return 0;
        int dp[array.size()];
         dp[0]=array[0];
         int result=array[0];
         for(int i=1;i<array.size();i++)
         {
             dp[i]=max(array[i],dp[i-1]+array[i]);
             result=max(result,dp[i]);
         }
        return result;
    }
};

3.最大連續子序列乘積

考慮到乘積子序列中有正有負也還可能有0，我們可以把問題簡化成這樣：陣列中找一個子序列，使得它的乘積最大；同時找一個子序列，使得它的乘積最小（負數的情況）。因為雖然我們只要一個最大積，但由於負數的存在，我們同時找這兩個乘積做起來反而方便。也就是說，不但記錄最大乘積，也要記錄最小乘積。

假設陣列為a[]，直接利用動態規劃來求解，考慮到可能存在負數的情況，我們用maxend來表示以a[i]結尾的最大連續子串的乘積值，用minend表示以a[i]結尾的最小的子串的乘積值，那麼狀態轉移方程為：

 maxend = max(max(maxend * a[i], minend * a[i]), a[i]);
 minend = min(min(maxend * a[i], minend * a[i]), a[i]);  

先考慮不連續的

思路：一維動態規劃

　　考慮到乘積子序列中有正有負也還可能有0，可以把問題簡化成這樣：

陣列中找一個子序列，使得它的乘積最大；同時找一個子序列，使得它的乘積最小（負數的情況）。
雖然只要一個最大積，但由於負數的存在，也要記錄最小乘積。碰到一個新的負數元素時，最小乘積相乘之後得到最大值。

程式碼：

int maxSuccessiveProduct(int num[], int n)
{
    if(n < 1)
        return INT_MIN;

    int max_prod = num[0], min_prod = num[0];
    int max_res  = max_prod;

    for(int i = 1; i < n; ++i)
    {
        int cur_prod1 = max_prod * num[i];
        int cur_prod2 = min_prod * num[i];

        max_prod = max(max_prod, max(cur_prod1, cur_prod2));
        min_prod = min(min_prod, min(cur_prod1, cur_prod2));

        max_res  = max(max_prod, min_prod);
    }

    return max_res;
}

再考慮連續的

思路：

和不連續的差不多，不過要同時記錄當前子串的最大/最小乘積，如果最大的乘積<當前值，則開始新的子串。

程式碼：

int maxProduct(int A[], int n) {
    int maxEnd = A[0];
    int minEnd = A[0];
    int maxResult = A[0];

    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {
        int end1 = maxEnd * A[i], end2 = minEnd * A[i];
        maxEnd   = max(max(end1, end2), A[i]);  //和上面的不同在於，外層max的另一個引數是當前元素值
        minEnd   = min(min(end1, end2), A[i]);
        maxResult = max(maxResult, maxEnd);
    }
    return maxResult;
}