除法取模 逆元 費馬小定理
阿新 • • 發佈：2018-12-24
對於正整數
逆元一般用擴充套件歐幾里得演算法來求得，如果
推導過程如下(逆元詳解)（點我）
假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麼
a(p-1)≡1（mod
p）這個為費馬小定理，m為素數是費馬小定理的前置條件。
求a/b=x(mod M）
只要M是一個素數,而且b不是M的倍數,就可以用一個逆元整數b1,通過 a/b=a*b1 (mod M)，只能來以乘換除。費馬小定理:對於素數 M 任意不是 M 的倍數的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M)
於是可以拆成：b*b^(M-2)=1(mod M)
於是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)
求a/b=x(mod M)
用擴充套件歐幾里德演算法算出b1,然後計算a*b1(mod M)
exgcd(b,M,x,y); b1=x;
當p是個質數的時候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
設x
= p % a,y = p / a
於是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移項得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
於是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
然後一直遞迴到1為止，因為1的逆元就是1。
void init() //O(n)求逆元
{
inv[1] = 1;
for(int i = 2;i <= N;i ++)
{
inv[i] = (mod - mod/i) * inv[mod % i] % mod;
}
// for(int i=1; i<=10;i++)
//cout<<inv[i]<<endl;
}總結：求逆元的方法
在 mod 的情況下，(a*b/c)%mod不能直接/c來求，需要找到一個數inv使得 inv*c % mod =1.這樣(a*b/c)%mod = (a*b*inv)%mod
性質：逆元是積性函式，存在a*b=c,那麼 inv[c]=inv[a] * inv[c] %mod
1, 暴力迴圈找解
2，費馬小定理的解法：mod是質數才能用
3，利用歐幾里得擴充套件來求。
歐幾里得擴充套件是用來解決 ax +by=gcd(a,b)這樣的式子
這時候取 b=mod，你可以寫成這樣，ax=gcd(a,b)-by
推匯出 a*x % mod=gcd(a,b)%mod
所以只要gcd(a,b)%mod==1是就可以使用這種方法來求逆元
4，利用神奇的推導，O(n) 求出 1~n的所有逆元(參考上面的 init())
5, 利用逆元函式是完全積性函式的性質,O(logN)求單個數的逆元
*/
它可以在O(n)的複雜度內算出n個數的逆元。
#include<cstdio>
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int inv[N];
int init()
{
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; i ++)
inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
}
int main()
{
init();
}