演算法原理系列：2-3查詢樹
2-3查詢樹
第一次接觸它是在刷資料結構那本書時，有它的介紹。而那時候只是單純的理解它的節點是如何分裂，以及整個構建過程，並不清楚它的實際用處，所以看了也就忘了。而當看完《演算法》查詢章節時，頓時有種頓悟，喔，原來如此啊。所以，提出來的這些有趣的結構千萬不能割裂來看，它的演變如此誘人，細節值得品味。
結構緣由
首先，搞清楚2-3查詢樹為什麼會出來，它要解決什麼樣的問題？假設我們對它的基本已經有所瞭解了。先給它來個簡單的定義：
2-3查詢樹：
- 一種保持有序結構的查詢樹。
- 可以維持動態平衡的有序查詢樹。
從上述定義就可以看出，它到底是為了解決什麼問題，在上一篇文章中，介紹了【查詢】的演變過程，詳細請參看博文put()的key是有序的，那麼構造出來的BST樹，就相當於一個連結串列，那麼對於每個元素的查詢，它的效能就相當糟糕。而2-3樹就是為了規避上述問題而設計發明出來的模型。現在請思考該如何設計它呢？
這裡我們從BST遇到的實際問題出發，提出設計指標，再去思考利用些潛在的性質來構建2-3樹。這部分內容，沒有什麼理論根據，而是我自己嘗試去抓些字典的性質來構建，而2-3樹的誕生過程並非真的如此，所以僅供參考。
構建2-3樹
字典的兩個主要操作為：查詢和插入。而在前面一篇文章說到，作為有序表，查詢效能和插入效能最理想的狀態為
BST最大的問題在於，它對輸入敏感，針對有序的插入，它構建出來的結構相當於是連結串列。為什麼會出現這種情況？
- 作為有序插入，每當有新節點加入時，樹沒有選擇【節點去向】的權力。（這好像是構建有序樹的特質，樹也無力改變，真慘！）
- 樹失去了分配【節點去向】的權力，自然就沒辦法動態改變它的高度。（出現極端情況的原因）
那麼你會問了，難道就不能當輸入到一定量時，發現樹的深度太深，直接全域性調整不行麼？有了全域性資訊，不就能調控，分配每個節點了麼。的確，我們要引出以下原因：
- 調控可以，但為了拿到這些全域性資訊，我們需要遍歷整個BST，而此時BST相當於連結串列，遍歷一次的代價已經高於查詢的效率，何必呢。
- 在插入時動態調整是最佳的，而當樹已經生成時，再去做樹的大調整，顯然實際有點難以操作。（這兩條的認識都比較感性）
綜上，字典key的有序性影響了【節點去向】，樹失去了【分配權】，其次結構隨插入時，樹的【動態調整】優於【全域性調整】。所以，我們需要設計一種結構能夠符合：
- 擁有分配權
- 可以動態調整
指標提出來了，但真的要設計出這樣的結構的確不是一般人能做的，好在，這世界有太多的大牛了，我們可以參考人家的思路。
分配權
為什麼BST會失去分配權力？因為它沒有可以權衡的資訊，在BST中，每個節點只能儲存了一個key，每當有新的節點插入時，進行比較後，就自動選擇路徑到它的子樹中去了，它無法停留。節點的去向我們是無法改變的，已由有序性決定，但我們是否可以決定它的【去】和【留】，它到這節點就一定要構建新的節點？不能停留在舊的節點上麼？
從巨集觀的角度來看這件事情的話，如果我麼能做到key值插入節點的【停留】，是否能夠利用它來做樹結構調整呢？答案呼之欲出！
我就不賣關子了，直接給出2-3樹的其中一個基本定義：
一棵2-3查詢樹或為一顆空樹，或由以下節點組成：
- 2-節點：含有一個鍵和兩條連結，左連結指向的2-3樹中的鍵都小於該節點，右連結指向的2-3樹中的鍵都大於該節點。
- 3-節點：含有兩個鍵和三條連結，左連結指向的2-3樹中的鍵都小於該節點，中連結指向的2-3樹中的鍵都位於該節點的兩個鍵之間，右連結指向的2-3樹中的鍵都大於該節點。
！！！傳統的樹定義即為2-節點，但2-3樹查詢樹的定義多了個3-節點，而3-節點，也就是為了讓節點能夠停留，而設計出來的新結構，它具有快取能力？哈哈，可以這麼理解。意思就是說，現在樹多了一條權力，不再是節點說了算，你不是老大！樹可以選擇我把你【放在這】還是【找你的子樹去】。對樹來說是件好事，起碼可以分配你了吧！所以分配這件事需要資源累積。
資料結構有了，我們先來看看它的查詢，暫且忽略它是怎麼構建的。我們只需要知道兩個事實，每個節點最多可以儲存兩個鍵，三個分叉。比較選擇子樹和BST是一樣的，對每個節點比較，然後選擇合適的子樹，進行下一步的遞迴比較。
左圖是命中情況，右圖是未命中，跟著圖一步步走，就能理解整個查詢過程了，這裡我就不廢話了。
動態平衡
要知道什麼是動態平衡，就必須知道什麼是平衡，這也是我第一次思考平衡這個概念，我們就拿樹中對平衡的定義，粗略解釋下。
樹的平衡：
任何節點的左子樹和右子樹之間的高度差不能超過1。
所以很明顯（a）圖是平衡的，而（b）圖是不平衡的。其實還要思考一個問題，平衡這個概念為何而出？定義樹的平衡有它的必要性麼？很顯然，一個完全不平衡的樹，在做查詢時，它就是線性級別的效能，而平衡的二叉樹，同樣的資料量，但有效利用了平衡性，它的查詢效能則能降到對數級別，這些都可以在數學上證明，此處只做感性認識。
那什麼是動態平衡呢？定義如下：
樹的動態平衡：
在對樹進行插入操作時，每個動態的狀態都能滿足靜態的平衡條件。
動態平衡是時時刻刻的，在新資料插入前，它是平衡的，而一旦當資料插入導致樹結構不平衡時則立馬進行調整。這思想很重要，因為後續的平衡二叉樹演算法都是基於這個原則實現的。原因也說了，如果不去時刻維護，要獲得全域性資訊代價高昂且全域性調整難度大於區域性調整。
有上述性質，我們不難判斷BST不是一個能夠自平衡的結構，在最壞情況下它的缺陷很明顯，對於有序key的插入，樹的深度+1。那麼問題來了，假設我現在要插入三個有序的key值如A E S。
BST的做法已經很明顯了，生成如下結構A -> E -> S。我們來看看2-3樹，剛才定義了3節點，我們就嘗試性的讓最開始的兩個節點停留在根節點，於是有如下所示：
很明顯，在插入第三個節點時，我們就只剩下一個選擇了，讓它去子樹上找位置去，這意味著它和BST的插入本質上是一樣的，並沒有利用快取的能力。但其實這快取有個很好的性質，它有了兩個節點的資訊（大於1節點的區域性資訊），可以對三個key值在插入時刻進行比較，而一旦能達到這能力，此樹就可以做自我調整了。如：我找三個樹的中間值，把它變成三個節點的BST樹！相比於直接把下一節點插入到子樹中去，它利用了兩個元素的資訊做了些調整，而調整後的樹，是個平衡的二叉樹。
所以接下來的事情，就是當有更多元素插入時，如何讓這個2-3樹在做調整時，時刻保持動態平衡。唉，令人遺憾的是這想法直接就由上面那種最簡單的情況得到了，如上，我們沒理由把節點往下插。用個形象的比喻，樹根在生長時，有它的隨意性，因為紮根沒給它任何限制。而現在我們做了一件可怕的事情，我們在樹根生長的土壤中給它加了一層隔板，限制它的向下發展，而不去約束它的向上勢頭，但我們都知道，不管向上怎麼發展，它始終是頭部為一個根節點，而底部為大量葉子節點的終極形態。
是不是很形象，所以2-3樹就形成了一個基本插入原則，每當有新的元素插入時，追根溯源到最底層（也就是那層隔板），當有存放它的位置時，2-節點還尚有一個儲存空間，它就存放。而當沒有存放位置時，3-節點都被塞滿了，那它開始【分裂】，分裂操作是不能破環【不準向下插入】原則的，所以它只能向上影響【父結點】。
所以有了上述原則，也就有了書中的對一些插入情況的討論。
- 向一棵只含有一個3-節點的樹中插入新鍵。（樹的初始態）
- 向一個父節點為2-節點的3-節點中插入新鍵。（子樹的分裂1）
- 向一個父節點為3-節點的3-節點中插入新建。（子樹的分類2）
- 分解根節點。（樹的向上生長態）
在前文中，我們已經圖解了樹的初始態，此處就不在解釋了。操作2和操作3是在子樹中最基本的兩個操作，它們唯一的區別在於父結點一種是【2節點狀態】而操作3的父結點是【3節點狀態】。
父節點：2-節點，子節點：3-節點
很明顯，元素一定是先沉底的，此處元素沉底在最左邊，但由於超過了3-節點的儲存能力，所以它必須分裂，不能向下分裂，所以只能往上了，影響它的父節點，但父節點可以再容納一個元素，所以只需要把X元素放入父節點即可。
父節點：3-節點，子節點：3-節點
此處和操作2唯一的區別在於，子節點分裂後，把一個元素加入到了它的父節點，但也超過了父節點的儲存能力，所以還要繼續向上分裂，直到有容下它的父節點。它和操作2本質上是一回事，但是為了表示分裂的傳遞性，所以被拎出來重點討論了下。
接著就剩下最後一個問題了，上述兩操作是不會影響樹的深度的，不信你自己模擬操作一遍，而真正影響樹的深度在於操作4，只有當根節點為3-節點時，此時有元素插入沉底後，不斷向上裂變，很不幸如果影響到根節點，那麼就執行操作4，我冒個頭出來，哈哈，是不是形象。
我們再來看看一個23樹的整體構建軌跡加深理解。
好了，整體的23樹的構建已經闡述完畢了，原本想看看書上是怎麼實現的，讓我繼續加深理解，結果卻在書中找到這樣一段話，也是讓我很無語，但它所提出的思想值得學習。
《演算法》
但是，我們和真正實現還有一段距離。儘管我們可以用不同的資料型別表示2-節點和3-節點並寫出變換所需的程式碼，但用這種直白的表示方法實現大多數操作並不方便，因為需要處理的情況實在太多。我們需要維護兩種不同型別的節點，將被查詢的鍵和節點中的每個鍵進行比較，將連結和其他資訊從一種節點複製到另一種節點，將節點從一種資料型別轉換到另一種資料型別，等等。實現這些不僅需要大量的程式碼，而且它們所產生的額外開銷可能會使演算法比標準的二叉查詢樹更慢。平衡一棵樹的初衷是為了消除最壞情況，但我們希望這種保障所需的程式碼能夠越來越好。幸運的是你將看到，我們只需要一點點代價就能用一種統一的方式完成所有變換。
欲言又止，但很有愛，起碼它有進一步的實現版本了，具體是什麼，我也賣個關子，下回分解。
參考文獻
- Robert Sedgewick. 演算法 第四版[M]. 北京：人民郵電出版社，2012.10
- Cormen. 演算法導論[M].北京：機械工業出版社，2013